Olimpiada Matematyczna

XXX OM - I - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

XXX OM - I - Zadanie 5

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $m$ , dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

$ 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0 $

wynosi 2.

W wielościanie wypukłym $Q$ umieszczono wielościan wypukły $P$ , w którym obrano punkt wewnętrzny $O$ . Dla każdego punktu $X$ leżącego na ścianie wielościanu $Q$ oznaczono przez $P_X$ punkt przecięcia odcinka $\overline{OX}$ ze ścianą wielościanu $P$ . Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $Y$ wielościanu $Q$ , że

$ \frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X} $

dla każdego punktu $X$ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $Q$ .

XXX OM - I - Zadanie 3

Liczby $a, b, c, d, e$ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $u_1, u_2, \ldots, u_n$ oraz liczby wymierne nieujemne $w_1, w_2, \ldots, w_n$ , że

$ \frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}. $

XXX OM - I - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $n$ punktów ( $n > 4$ ), z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje co najmniej $\binom{n-3}{2}$ czworokątów wypukłych, których wierzchołkami są pewne z danych punktów.

XXX OM - I - Zadanie 1

Danych jest siedem liczb należących do przedziału, $[1, 10]$ . Udowodnić, że trzy spośród nich są długościami boków pewnego trójkąta.

XXXI - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ \sum_{s=n}^{2n} 2^{2n-s} \binom{s}{n} = 2^{2n} $

XXXI - III - Zadanie 5

W czworościanie pola sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie, a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu, są równe. Udowodnić, że czworościan ten jest foremny.

XXXI - III - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $W$ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $U$ i $V$ , że tożsamościowo zachodzą równości

$ \begin{split} W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z), U (x, y, z) = U (y, x, z), V(x, y,z) = -V(x, z, y). \end{split} $

XXXI - III - Zadanie 3

Obieramy liczbę całkowitą $k$ z przedziału $[1, 99]$ . Następnie rzucamy 100 razy monetą (wyniki rzutów są niezależne). Niech

$ \varepsilon_j = \begin{cases} 1, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie orzeł,} \\ 2, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie reszka.} \end{cases} $

Oznaczmy przez $M_k$ zdarzenie polegające na tym, że istnieje taka liczba $i$ , że $k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100$ . Jakie powinno być $k$ , aby prawdopodobieństwo zdarzenia $M_k$ było największe?

Olimpiady Matematyczne