1980-1989

XXXIII OM - I - Zadanie 2

Niech $p$ będzie ustaloną liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba

$ \underbrace{11\ldots 1}\underbrace{22\ldots 2}\ldots \underbrace{99\ldots 9} - 123456789 $

dzieli się przez $p$ .

Dwudziestopięciokąt foremny $A_1,A_2, \ldots, A_{25}$ wpisany jest w okrąg o środku $O$ i promieniu długości $r$ . Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}}$ ?

XXXIV OM - III - Zadanie 6

Wykazać, że jeśli wszystkie kąty dwuścienne czworościanu są ostre, to wszystkie jego ściany są trójkątami ostrokątnymi.

XXXIV OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są wektory $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ równe 1 lub 2, że długość wektora $\varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3}$ jest nie mniejsza od 2.

XXXIV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $a, b, c, d$ spełniają równość $ab = cd$ , to

$ \frac{\mathrm{NWD}(a, c)\cdot \mathrm{NWD}(a, d)}{\mathrm{NWD}(a, b, c, d)} = a. $

XXXIV - III - Zadanie 3

Rozważamy grę jednoosobową na nieskończonej szachownicy opartą na następującej regule. Jeżeli na dwóch polach mających wspólny bok stoją plony i następne pole jest puste (trzy omawiane pola leżą na jednej linii poziomej lub pionowej), to możemy te piony usunąć i postawić jeden pion na trzecim z tych pól (które było puste).
Udowodnić, że jeżeli w pozycji początkowej piony wypełniają prostokąt o liczbie pól podzielnej przez 3, to nie możemy otrzymać pozycji, w której na szachownicy jest tylko jeden pion.

XXXIV OM - III - Zadanie 2

Dana jest liczba niewymierna $a$ należąca do przedziału $(0,1)$ i liczba naturalna $N$ . Udowodnić, że istnieją takie liczby naturalne $p, q, r, s$ , że

$ \frac{p}{q} < a < \frac{r}{s}, \; \frac{r}{s} - \frac{p}{q} < \frac{1}{N} \quad \text{oraz} \quad rq-ps=1. $

XXXIV OM - III - Zadanie 1

Na płaszczyźnie dany jest $n$ -kąt wypukły $P_1, \ldots, P_n$ oraz punkt $Q$ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to liczba trójkątów $P_iP_jP_k$ ( $i,j,k= 1,2,\ldots,n$ ), które zawierają punkt $Q$ jest parzysta.

XXXIV OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby $n$ oznaczmy przez $p_n$ prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wyborze pary liczb całkowitych $k, m$ spełniających warunki $0 \leq k \leq m \leq 2^n$ (wybór każdej pary jest jednakowo prawdopodobny) liczba $\binom{m}{k}$ będzie parzysta. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .