1970-1979

XXIII OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby pierwszej $ p $ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $ \frac{a}{b}>0 $, że

\[<br /> \frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}.<br /> \]

XXIV OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla dowolnego wielokąta wypukłego mającego środek symetrii istnieje co najwyżej jedna elipsa o najmniejszym polu zawierająca dany wielokąt.
Uwaga. Pole elipsy o półosiach długości $ a $ i $ b $ wyraża się wzorem $ \pi ab $.

XXIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy dodatni ułamek właściwy $ \frac{m}{n} $ można przedstawić w postaci skończonej sumy odwrotności różnych liczb naturalnych.

XXIV OM - III - Zadanie 4

Na prostej dany jest układ odcinków o łącznej długości $ < 1 $. Dowieść, że dowolny układ $ n $ punktów prostej można przesunąć na niej o wektor długości $ \leq \frac{n}{2} $ tak, aby po przesunięciu żaden z punktów nie leżał na żadnym z danych odcinków.

XXIV OM - III - Zadanie 3

Wielościan $ W $ ma następujące własności:
a) posiada środek symetrii,
b) część wspólna wielościanu W z dowolną płaszczyzną zawierającą środek symetrii i którąkolwiek krawędź wielościanu jest równoległobokiem,
c) istnieje wierzchołek wielościanu $ W $, który należy do dokładnie trzech krawędzi.
Dowieść, że wielościan $ W $ jest równoległościanem.

XXIV OM - III - Zadanie 2

Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $ n $ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $ p_n $ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

XXIV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

XXIV OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ m $ istnieje taki wielomian w o współczynnikach całkowitych, że $ 2^m $ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb

\[<br /> a_n = 3^n + w(n), n = 0, 1, 2, \ldots .<br /> \]

XXIV OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ mamy $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to wszystkie ściany czworościanu są trójkątami ostrokątnymi.

Subskrybuje zawartość