Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą całkowitą wiekszą od $2$ , to

$ 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!. $

IV OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli figura płaska ma dwie i tylko dwie osie symetrii, to te osie są prostopadłe.

W trapezie $ABCD$ przez punkt przecięcia $S$ przekątnych poprowadzono prostą równoległą da podstaw $AB$ i $DC$ trapezu, która przecina boki $AD$ i $BC$ w punktach $M$ i $N$ . Dowieść, że 1) $MN$ równa się średniej harmonicznej podstaw, 2) jeżeli $\measuredangle ADC = \measuredangle ACB$ , to $AC$ równa się średniej geometrycznej podstaw.

IV OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że liczba $2^{55} + 1$ jest podzielna przez $11$ .

IV OM - I - Zadanie 3

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

$ a (b-c)^3 +b (c- a)^3 + c (a - b)^3. $

IV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że wysokości $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ trójkąta i promienie $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ kół dopisanych spełniają równość

$ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}. $

IV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że stosunek sumy środkowych każdego trójkąta do jego obwodu zawiera się w przedziale $\left( \frac{3}{4}, 1 \right)$ i że tej własności nie ma żaden przedział węższy.

V OM - III - Zadanie 6

Wewnątrz obręczy o promieniu $2r$ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $r$ . Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

V OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $AB = CD$ , $AC = BD$ , $AD = BC$ , to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.