Ciągi

XLIII OM - II - Zadanie 6

Ciągi $ (x_n) $ i $ (y_n) $ są określone następująco:

\[<br /> x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots.<br /> \]

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $ n\geq 0 $ zachodzi równość $ y_n = x_{2^n-1} $.

XLIV OM - III - Zadanie 3

Oznaczmy przez $ g(k) $ największy dzielnik nieparzysty liczby całkowitej dodatniej $ k $ oraz przyjmijmy

\[<br /> f(k) =<br /> \begin{cases}<br /> \frac{k}{2} + \frac{k}{g(k)} & \text{ dla } $k$ \text{ parzystego,} \\<br /> 2^{\frac{k+1}{2}} & \text{ dla } $k$ \text{ nieparzystego.}<br /> \end{cases}<br /> \]

Ciąg $ (x_n) $ jest określony przez zależności $ x_1 = 1 $, $ x_{n+1} = f(x_n) $. Wykazać, że liczba 800 występuje wśród wyrazów tego ciągu dokładnie raz. Wyznaczyć $ n $, dla którego $ x_n = 800 $.

XLIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ (x_n) $ będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że:

\[<br /> x_1 = 1 \quad \text{ oraz } \quad<br /> x_n < x_{n +1} \leq 2n \quad \text{ dla } n=1,2,3,\ldots .<br /> \]

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ istnieją takie liczby $ r $ i $ s $, że $ x_r - x_s = k $.

XLV OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba całkowita $ c \geq 1 $. Każdemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1,2, \ldots ,n\} $ przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ ze zbioru $ \{1,2, \ldots ,c\} $ tak, by był spełniony następujący warunek:

\[<br /> w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ dla } A, B \subset \{1,2, \ldots , n\}.<br /> \]

Niech $ a(n) $ będzie liczbą takich przyporządkowań. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)} $.

Uwaga: $ \min(x,y) $ jest nie większą z liczb $ x $, $ y $.

XLVI OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba pierwsza $ p \geq 3 $. Określamy ciąg $ (a_n) $ wzorami

\[<br /> \begin{split}<br /> a_n = n & \text{ dla } n=0,1,2,\ldots,p-1, \\<br /> a_n = a_{n-1} + a_{n-p} & \text{ dla } n\geq p.<br /> \end{split}<br /> \]

Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby $ a_{p^3} $ przez $ p $.

XLVI OM - I - Zadanie 12

Ciąg $ (x_n) $ jest określony następująco:

\[<br /> x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots .<br /> \]

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br /> x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1.<br /> \]

XLVII OM - III - Zadanie 5

Dla liczby naturalnej $ k \geq 1 $ oznaczmy przez $ p(k) $ najmniejszą liczbę pierwszą, która nie jest dzielnikiem liczby $ k $. Jeśli $ p(k) > 2 $, to przyjmujemy, że $ q(k) $ jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od $ p(k) $; gdy zaś $ p(k) = 2 $, to przyjmujemy $ q(k) = 1 $. Określamy ciąg $ (x_n) $ wzorami:

\[<br /> x_0 = 1, \quad x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots .<br /> \]

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których zachodzi równość $ x_n = 111111 $.

XLVII OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg $ a_1, a_2, \ldots , a_{99} $ liczb ze zbioru $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $. Zakładamy, że dla $ i =1,2, \ldots, 98 $ zachodzą implikacje:

\[<br /> \textrm{jeśli } a_i = 1, \text{ to } a_{i+1} \neq 2; \quad \text{ a jeśli } a_i = 3, \text{ to } a_{i+1} \neq 4.<br /> \]

Udowodnić, że dla pewnych dwóch różnych liczb $ k,l \in \{1,2, ... ,98\} $ zachodzą równości: $ a_k = a_l $ oraz $ a_{k+1} = a_{l+1} $.

XLVII OM - I - Zadanie 6

Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich: ciąg arytmetyczny o różnicy $ r > 0 $ i ciąg geometryczny o ilorazie $ q > 1 $; liczby naturalne $ r $, $ q $ są względnie pierwsze. Udowodnić, że jeśli te ciągi mają jeden wspólny wyraz, to mają nieskończenie wiele wspólnych wyrazów.

Subskrybuje zawartość