Liczby całkowite

XXII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie danych jest pięć punktów kratowych (tzn. punktów o współrzędnych całkowitych). Udowodnić, że środek jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym.

XXII OM - I - Zadanie 5

Dana jest liczba naturalna $ N $. Obliczyć liczbę takich ciągów $ (x_1, \ldots, x_N) $, że $ x_i = 7 $ albo $ x_i = —13 $ ($ i = 1, \ldots, N $) oraz

\[<br /> \sum_{i=1}^N x_i = 0.<br /> \]

XXII OM - I - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: Współczynnik dwumianowy $ \binom{n}{k} $ ma przy każdym naturalnym $ k < n $ ten sam czynnik wspólny z $ n $ większy od jedności wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest potęgą liczby pierwszej.

XXIII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że suma cyfr liczby $ 1972^n $ dąży do nieskończoności, gdy $ n $ dąży do nieskończoności.

XXIII OM - II - Zadanie 3

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $ XOY $ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

XXIII OM - I - Zadanie 9

Ile liczb naturalnych mniejszych od $ 10^n $ ma zapis dziesiętny, którego cyfry tworzą ciąg niemalejący?

XXIII OM - I - Zadanie 6

Zbadać, dla jakich cyfr $ a $ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $ \frac{n(n+1)}{2} $ ($ n\in \mathbb{N} $) składa się z samych cyfr $ a $.

XXIII OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby pierwszej $ p $ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $ \frac{a}{b}>0 $, że

\[<br /> \frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}.<br /> \]

XXIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy dodatni ułamek właściwy $ \frac{m}{n} $ można przedstawić w postaci skończonej sumy odwrotności różnych liczb naturalnych.

Subskrybuje zawartość