Liczby rzeczywiste

XL OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $ k\geq l $ istnieje taka liczba rzeczywista $ x $, że przy każdym całkowitym $ m \geq 1 $ liczba $ [x^m] + 1 $ dzieli się przez $ k $.

XL OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ spełniają nierówności

\[<br /> \alpha+\beta+\gamma < \pi, \alpha < \beta + \gamma, \beta < \gamma + \alpha, \gamma < \alpha + \beta.<br /> \]

Udowodnić, że z odcinków o długościach $ \sin \alpha $, $ \sin \beta $, $ \sin \gamma $ można zbudować trójkąt i że pole tego trójkąta jest nie większe od

\[<br /> \frac{1}{8} (\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma).<br /> \]

XL OM - I - Zadanie 6

Obliczyć sumę szeregu $ \sum_{n\in A}\frac{1}{2^n} $, w którym sumowanie przebiega zbiór $ A $ wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 2, 3, 5.

XL OM - I - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ znaleźć liczbę rozwiązań równania

\[<br /> x^2 - [x^2] = (x - [x])^2<br /> \]

spełniających warunek $ 1 \leq x \leq n $.
Uwaga. $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

XLI OM - II - Zadanie 4

Dla każdej pary liczb naturalnych parzystych $ k $, $ m $ wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ x $ spełniające równanie

\[<br /> (\sin x)^k + (\cos x)^{-m} = (\cos x)^k + (\sin x)^{-m}.<br /> \]

XLI OM - I - Zadanie 10

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ wyznaczyć liczby dodatnie $ x_1,\ldots,x_n $ o sumie równej $ 1 $, dla których iloczyn

\[<br /> x_1^1\cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n<br /> \]

osiąga wartość maksymalną.

XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

\[<br /> \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2.<br /> \]

XLII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste dodatnie $ a $, $ b $. Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych dodatnich $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br /> \frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)} = \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b}<br /> \]

XLIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $ n \geq 2 $ jest liczbą naturalną, to liczba

\[<br /> \sqrt{2+\sqrt[3]{3+\ldots+\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}<br /> \]

jest niewymierna.

Subskrybuje zawartość