Nierówności

XXXV OM - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ oraz każdego $ i = 1, 2, \ldots, n $, $ j = 1, 2, \ldots $ określamy

\[<br /> a_{j,i} = \begin{cases}<br /> 1 &\text{ dla }j=i \\<br /> 0 &\text{ dla }j\neq i<br /> \end{cases}<br /> \]

natomiast dla $ i = n + 1,\ldots, 2n $ $ j = 1,2,\ldots, n $

\[<br /> a_{j,i} = -\frac{1}{n}.<br /> \]

Udowodnić, że dla każdej permutacji $ p $ zbioru $ \{1, 2,\ldots, 2n\} $ spełniona jest nierówność

\[<br /> \sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}.<br /> \]

XXXV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m, p $ większych od 1 spełniona jest nierówność

\[<br /> \sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1)\cdot\sqrt[p]{k}} < p.<br /> \]

XXXV OM - I - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wartości $ p, q $, dla których nierówność

\[<br /> |\sqrt{1-x^2} - px - q| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)<br /> \]

zachodzi dla każdego $ x $ z przedziału $ [0; 1] $.

XXXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ x,y,z $ są takimi liczbami nieujemnymi, że $ x + y + z = 1 $, to

\[<br /> \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \leq \frac{3}{4}.<br /> \]

XXXVIII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste nieujemne $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, $ x_1, x_2, \ldots , x_n $.
Przyjmujemy $ a = \sum_{i=1}^n a_i $, $ c = \sum_{i=1}^n a_ix_i $. Dowieść, że

\[<br /> \sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{1+x_i^2} \leq a+c<br /> \]

XXXIX OM - III - Zadanie 1

Liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ należące do przedziału $ \langle 0; 1\rangle $ spełniają warunek

\[<br /> \sum_{i=1}^n x_i = m+r,<br /> \]

gdzie $ m $ jest liczbą całkowitą, $ r \in \langle 0; 1) $. Dowieść, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2<br /> \]

XXXIX OM - II - Zadanie 2

Dane są liczby rzeczywiste $ x_i $, $ y_i $ ($ i = 1, 2, \ldots, n $) takie, że

\[<br /> (1) \qquad x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad<br /> \qquad y_1 > y_2 > \ldots > y_n 0,<br /> \]

oraz

\[<br /> \prod_{i=1}^k x_i \geq \prod_{i=1}^k y_i,\quad \text{ dla }\quad k=1,2,\ldots, n.<br /> \]

Udowodnić, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n x_i > \sum_{i=1}^n y_i.<br /> \]

XL OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, c, d $ spełniona jest nierówność

\[<br /> \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{6}}.<br /> \]

XLI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od 2, a $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

\[<br /> \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2 x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3 x_4} + \ldots + \frac{x_n^2}{x_n^2+x_1 x_2} \leq n-1.<br /> \]

XLI OM - II - Zadanie 5

Danych jest $ n $ liczb naturalnych ($ n\geq 2 $), których suma równa jest ich iloczynowi. Wykazać, że ta wspólna wartość nie przekracza $ 2n $.

Subskrybuje zawartość