Planimetria

VIII OM - I - Zadanie 4

Przez punkt $ A $ leżący na zewnątrz danego okręgu $ K $ poprowadzić prostą, która by przecięła ten okrąg w punktach $ B $ i $ C $ w ten sposób, że $ AB = BC $.

VIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r},<br /> \]

gdzie $ r $ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $ h_1 $ i $ h_2 $ - dwie wysokości tego trójkąta.

IX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma kwadrat.

IX OM - III - Zadanie 2

Każdy bok czworokąta wypukłego $ ABCD $ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $ AB $ i $ AD $, które leżą bliżej wierzchołka $ A $, poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ ABCD $.

IX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $ C_1 $ i $ C_2 $ oraz prosta $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt, z którego można do okręgów $ C_1 $ i $ C_2 $ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $ m $.

IX OM - II - Zadanie 5

Na zewnątrz trójkąta $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ BMC $, $ CNA $ i $ APB $. Dowieść, że środki $ S $, $ T $, $ U $ tych trójkątów tworzą trójkąt równoboczny.

IX OM - II - Zadanie 2

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

IX OM - I - Zadanie 12

Dany jest okrąg o promieniu $ r $ i półproste $ AB $ i $ AC $ styczne do tego okręgu w punktach $ B $ i $ C $. Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $ BAC $ jest najkrótszy.

IX OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

IX OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że jeżeli figura płaska o rozmiarach skończonych ma środek symetrii $ O $ i oś symetrii $ s $, to punkt $ O $ leży na prostej $ s $.

Subskrybuje zawartość