Stereometria

Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.

Dany jest sześcian o krawędzi długości 1; niech oznacza powierzchnię tego sześcianu. Udowodnić, że istnieje taki punkt , że
1) dla każdego punktu istnieje łamana łącząca i o długości nie większej niż 2 zawarta w ;
2) istnieje taki punkt , że nie istnieje łamana łącząca i zawarta w o długości mniejszej niż 2.

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą dane są punkty i . Rzut prostokątny środka kuli na prostą lezy między punktami i , przy czym i są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór trójkątów , których boki i są styczne do kuli . Udowodnić, że jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru .

Danych jest sześć punktów w przestrzeni, nie wszystkie w jednej płaszczyźnie. Dowieść, że wśród prostych wyznaczonych przez te punkty jest prosta nierównolegla do żadnej z pozostałych.

Wielościan ma następujące własności:
a) posiada środek symetrii,
b) część wspólna wielościanu W z dowolną płaszczyzną zawierającą środek symetrii i którąkolwiek krawędź wielościanu jest równoległobokiem,
c) istnieje wierzchołek wielościanu , który należy do dokładnie trzech krawędzi.
Dowieść, że wielościan jest równoległościanem.