Wielomiany

XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n $ spełnia warunki $ P(1) = 0 $ oraz $ P(x) \geq 0 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $. Dowieść, że

\[<br /> a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0.<br /> \]

XXXIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ f(x) $ będzie wielomianem, $ n $ - liczbą naturalną. Udowodnić, że jeżeli $ f(x^{n}) $ dzieli się przez $ x-1 $, to dzieli się również przez $ x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 $.

XXXIX OM - I - Zadanie 1

Dla każdej liczby dodatniej $ a $ wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu $ x^3+(a+2)x^2-x-3a $.

XLI OM - I - Zadanie 9

Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $ W(x) $ o współczynnikach wymiernych, że dla każdego całkowitego $ k $ wartość $ W(3k+1) $ jest liczbą całkowitą nieparzystą, a $ W(3k+2) $ — liczbą całkowitą parzystą.

XLIV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że wielomian $ x^n + 4 $ jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest liczbą podzielną przez $ 4 $.

XLV OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) $ stopnia co najwyżej piątego o współczynnikach rzeczywistych, mające tę własność, że wielomian $ P(x) + 1 $ jest podzielny przez $ (x - 1)^3 $ a wielomian $ P(x) - 1 $ jest podzielny przez $ (x + 1)^3 $.

XLV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ x^3 + ax^2 + bx + c $ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $ x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c) $ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

XLVI OM - II - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) $ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $ P(5) $ dzieli się przez 2, a liczba $ P(2) $ dzieli się przez 5, to liczba $ P(7) $ dzieli się przez 10.

XLVII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie pary $ (n,r) $, gdzie $ n $ jest liczbą całkowitą dodatnią $ r $ zaś liczbą rzeczywistą, dla których wielomian $ (x + 1)^n - r $ jest podzielny przez wielomian $ 2x^2 + 2x + 1 $.

XLVII OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Subskrybuje zawartość