Olimpiada Matematyczna

IV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że wysokości $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ trójkąta i promienie $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ kół dopisanych spełniają równość

$ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}. $

IV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że stosunek sumy środkowych każdego trójkąta do jego obwodu zawiera się w przedziale $\left( \frac{3}{4}, 1 \right)$ i że tej własności nie ma żaden przedział węższy.

V OM - III - Zadanie 6

Wewnątrz obręczy o promieniu $2r$ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $r$ . Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $AB = CD$ , $AC = BD$ , $AD = BC$ , to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.

V OM - III - Zadanie 4

Znaleźć wartości $x$ spełniające nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2, $

gdzie $a$ jest daną liczbą dodatnią.

V OM - III - Zadanie 3

Jednorodną tarczę kołową zawieszono w położeniu poziomym na sznurze uczepionym w jej środku $O$ . W trzech różnych punktach $A$ , $B$ , $C$ brzegu tarczy położono ciężary $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ , po czym tarcza pozostała w równowadze. Obliczyć kąty $AOB$ , $BOC$ i $COA$ .