2000-2009

LIV OM - I - Zadanie 10

Mamy talię 52 kart. Tasowaniem będziemy nazywać wykonanie następujących czynności: dowolny podział talii na część górną i dolną, a następnie dowolne zmieszanie kart z zachowaniem porządku w obrębie każdej części. Mówiąc formalnie, tasowaniem jest dowolne przemieszanie kart, w którym $ i $-ta karta od wierzchu przechodzi na pozycję $ p_i $, przy czym istnieje takie $ m\in \{ 1, 2, 3, \ldots, 51\} $, że $ p_i < p_{i+1} $ dla $ i<m $ oraz dla $ i > m $.

Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od ustalonego początkowego uporządkowania kart, można uzyskać każde inne uporządkowanie wykonując pięć tasowań.

LIV OM - I - Zadanie 9

Znaleźć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach rzeczywistych, mające następującą własność: jeśli $ x+ y $ jest liczbą wymierną, to

\[<br /> W(x) + W(y)<br /> \]

jest liczbą wymierną.

LIV OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ ABCD $ punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami krawędzi $ AB $ i $ CD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ MN $, przy czym $ MP = CN $ oraz $ NP = AM $. Punkt $ O $ jest środkiem sfery opisanej na czworościanie $ ABCD $. Dowieść, że jeżeli $ O \neq P $, to $ OP \perp MN $.

LIV OM - I - Zadanie 7

U cioci Reni spotkało się (łącznie z ciocią) $ n \geq 4 $ osób. Każdy z obecnych podarował co najmniej jednej z pozostałych osób co najmniej jeden prezent. Okazało się, że każdy podarował trzykrotnie więcej prezentów niż sam otrzymał, z jednym wyjątkiem: ciocia Renia podarowała zaledwie $ \frac{1}{6} $ liczby prezentów, które dostała. Wyznaczyć, w zależności od $ n $, najmniejszą możliwą liczbę prezentów, które mogła otrzymać ciocia Renia.

LIV OM - I - Zadanie 6

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą w tej właśnie kolejności na okręgu $ o $. Punkt $ M $ jest środkiem tego łuku $ AB $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ C $ i $ D $; punkt $ N $ jest środkiem tego łuku $ CD $ okręgu o, który nie zawiera punktów $ A $ i $ B $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AN^2-BN^2}{AB}=\frac{DM^2-CM^2}{CD}.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 5

Liczba naturalna $ n_1 $ zapisana jest w układzie dziesiętnym za pomocą 333 cyfr, z których żadna nie jest zerem. Dla $ i = 1 , 2, 3, \ldots , 332 $ liczba $ n_{i+1} $ powstaje z liczby $ n_i $ przez przeniesienie cyfry jedności na początek. Dowieść, że albo wszystkie liczby $ n_1, n_2, n_3, \ldots , n_{333} $ są podzielne przez 333, albo żadna z nich.

LIV OM - I - Zadanie 4

Rozpatrujemy zbiór wszystkich $ k $-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $ \{1, 2, 3,\ldots , m\} $. Z każdego takiego ciągu wybieramy wyraz najmniejszy i sumujemy wybrane wyrazy. Udowodnić, że otrzymana suma jest równa

\[<br /> 1^k + 2^k + 3^k + \ldots + m^k.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 3

Trzy różne punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżą na okręgu $ o $. Proste styczne do okręgu $ o $ w punktach $ A $ i $ B $ przecinają się w punkcie $ P $. Prosta styczna do okręgu $ o $ w punkcie $ C $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ Q $. Udowodnić, że

\[<br /> PQ^2 = PB^2 + QC^2.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $ a_1 > 1 $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ wzorem

\[<br /> a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1.<br /> \]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniających równanie

\[<br /> (x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1.<br /> \]
Subskrybuje zawartość