Olimpiada Matematyczna

XXXI - III - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnej liczby $n$ istnieje rozwiązanie równania

$<br /> a^2 + b^2 + c^2 = 3abc<br />$

w liczbach naturalnych $a, b, c$ większych od $n$ .

XXXI - III - Zadanie 1

Obliczyć pole ośmiokąta wpisanego w okrąg wiedząc, że każdy z czterech kolejnych boków tego ośmiokąta ma długość 1, a każdy z czterech pozostałych ma długość 2.

Udowodnić, że jeżeli punkt $P$ przebiega okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ , to wartość wyrażenia $a \cdot PA^2 + b \cdot PB^2 + c \cdot PC^2$ jest stała ( $a, b, c$ są odpowiednio długościami boków leżących naprzeciw wierzchołków $A, B, C$ ).

XXXI - II - Zadanie 5

Wypisujemy kolejno wyrazy ciągu $(n_1, n_2, \ldots, n_k)$ , gdzie $n_1 = 1000$ , zaś $n_j$ dla $j > 1$ jest liczbą całkowitą wybraną losowo z przedziału $[0, n_{j-1} - 1]$ (wybór każdej liczby z tego przedziału jest jednakowo prawdopodobny). Kończymy wypisywanie, gdy wybrana liczba jest zerem, tzn. $n_{k-1}$ , $n_k = 0$ , Długość $k$ ciągu $(n_1, n_2, \ldots, n_k)$ jest zmienną losową. Udowodnić, że wartość oczekiwana tej zmiennej losowej jest większa od 7.

XXXI - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi oraz wielomian $ax^3 - ax^2 + 9bx - b$ ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one równe.

XXXI - II - Zadanie 3

Dana jest w przestrzeni kula $K$ i punkty $A, B$ poza kulą takie, że odcinek $AB$ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $P$ , dla których odcinki $AP$ i $BP$ są styczne do kuli $K$ , zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

XXXI - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ prawdziwa jest nierówność

$<br /> x_1x_2x_3\ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} + \frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}<br />$

XXXI - II - Zadanie 1

Uczniowie $A$ i $B$ grają według następujących reguł: uczeń $A$ obiera na płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości 1, następnie uczeń $B$ podaje liczbę $s_1$ , równą $1$ lub $-1$ ; potem uczeń $A$ obiera wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości $1$ , a z kolei uczeń $B$ podaje liczbę $s_2$ równą $1$ lub $-1$ itd. Wygrywa $B$ , jeśli dla pewnego $n$ wektor $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j}$ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $R$ . Udowodnić, że uczeń $B$ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $R^2 + 1$ krokach niezależnie od postępowania partnera $A$ .

XXXI - I - Zadanie 12

Niech $D$ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $\{(x,y) : x \geq 0, y = 0\}$ i parabolą o równaniu $y = x^2$ tzn. $D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\}$ . W obszarze $D$ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $D$ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.