Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXXI - II - Zadanie 3

Dana jest w przestrzeni kula $ K $ i punkty $ A, B $ poza kulą takie, że odcinek $ AB $ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $ P $, dla których odcinki $ AP $ i $ BP $ są styczne do kuli $ K $, zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

XXXI - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> x_1x_2x_3\ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} + \frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}<br /> \]

XXXI - II - Zadanie 1

Uczniowie $ A $ i $ B $ grają według następujących reguł: uczeń $ A $ obiera na płaszczyźnie wektor $ \overrightarrow{a_1} $ o długości 1, następnie uczeń $ B $ podaje liczbę $ s_1 $, równą $ 1 $ lub $ -1 $; potem uczeń $ A $ obiera wektor $ \overrightarrow{a_1} $ o długości $ 1 $, a z kolei uczeń $ B $ podaje liczbę $ s_2 $ równą $ 1 $ lub $ -1 $ itd. Wygrywa $ B $, jeśli dla pewnego $ n $ wektor $ \sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j} $ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $ R $. Udowodnić, że uczeń $ B $ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $ R^2 + 1 $ krokach niezależnie od postępowania partnera $ A $.

XXXI - I - Zadanie 12

Niech $ D $ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $ \{(x,y) : x \geq 0, y = 0\} $ i parabolą o równaniu $ y = x^2 $ tzn. $ D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\} $. W obszarze $ D $ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $ D $ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.

Uwaga. Kula odbija się od paraboli w taki sposób, w jaki odbija się od stycznej do paraboli w tym punkcie.

XXXI - I - Zadanie 10

Płaszczyzną podzielono dwiema rodzinami prostych równoległych na przystające kwadraty. $ S $ jest zbiorem złożonym z $ n $ takich kwadratów. Udowodnić, że istnieje podzbiór zbioru $ S $, w którym liczba kwadratów jest nie mniejsza niż $ \frac{n}{4} $ i żadne dwa kwadraty nie mają wspólnego wierzchołka.

XXXI - I - Zadanie 9

Dowieść, że liczba naturalna $ n > 1 $ dzieli liczbę $ a^{(n-1)! + 1} $ - a dla każdego całkowitego $ a $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest iloczynem różnych liczb pierwszych.

XXXI - I - Zadanie 8

Znaleźć wszystkie podzbiory $ S $ zbioru liczb wymiernych spełniające następujące warunki.
1. Jeśli $ a \in S $, $ b \in S $, to $ a + b \in S $.
2. Jeśli $ a $ jest liczbą wymierną różną od 0, to dokładnie jedna z liczb $ a $ i $ -a $ , należy do $ S $.

XXXI - I - Zadanie 7

Na sferze o promieniu długości 1 obrano 13 punktów. Dowieść, że wśród tych punktów istnieją takie dwa, których odległość jest mniejsza od $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

XXXI - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla różnych liczb całkowitych $ a, b, c $ i dowolnej liczby naturalnej $ n $ liczba

\[<br /> \frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)}<br /> \]

jest całkowita.

Subskrybuje zawartość