Olimpiada Matematyczna

XXXII - I - Zadanie 4

Na bokach trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano kwadraty $ABED$ , $BCGF$ , $ACHI$ leżące na zewnątrz trójkąta. Udowodnić, że środkowe trójkąta utworzonego przez proste $EF$ , $GH$ , $DI$ są prostopadłe do boków trójkąta $ABC$ .

XXXII - I - Zadanie 3

Na kuli $K$ opisano stożek $S_1$ . Niech $A$ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $S_1$ poprowadzono płaszczyznę $\Pi$ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $K$ opisano drugi stożek $S_2$ , którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $\Pi$ . Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ przechodzi przez punkt $A$ .

XXXII - I - Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita nieujemna $n$ . Dowieść, że liczba takich układów liczb całkowitych $n_1 \geq n_2 \geq \ldots \geq n_k \geq 0$ , że

$ 2^{n_1}+2^{n_2}+\ldots + 2^{n_k} = 2^n $

jest nie mniejsza niż $2^n$ .

XXXII - I - Zadanie 1

Dane są ciągi $(x_n)$ , $(y_n)$ liczb rzeczywistych spełniające warunki

$ \begin{split} x_{n+1} %= x_n^3 - 3x_n \\ y_{n+1} = y_n^3 - 3y_n \quad \text{dla } n = 0, 1, 2, \ldots, \\ x_0^2 = y_0 + 2. \end{split} $

Dowieść, że $x_n^2 = y_n + 2$ dla $n = 1, 2,\ldots$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $2\pi$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 5

Liczby całkowite $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1$ spełniają dla $k = 1, 2, \ldots, n$ nierówność

$ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. $

Dowieść, że różnica

$ \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| $

dzieli się przez 4.

XXXIII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów. Dowieść, że zbiór ten można pokryć otwartymi kwadratami rozłącznymi $Q_1, Q_2, \ldots, Q_n$ , tak, że

$ 1\leq \frac{N_j}{S_j} \leq 4 $

( $j = 1, 2,\ldots, n$ ) gdzie $N_j$ jest liczbą punktów zbioru leżących w kwadracie $Q_j$ , zaś $S_j$ jest polem kwadratu $Q_j$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $x, y$ spełniające układ równań

$ \begin{split} x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\ x^3 + y^3 &= a^3 + b^3 \end{split} $

gdzie $a, b$ są danymi liczbami dodatnimi.

XXXIII OM - III - Zadanie 2

W czworokącie $ABCD$ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $\overline{AB}$ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $\overline{CD}$ . Udowodnić, że boki $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

XXXIII OM - III - Zadanie 1

Wskazać taki sposób rozmieszczenia przy okrągłym stole $n$ dziewcząt i $n$ chłopców, aby liczba $d_n - c_n$ była największa, gdzie $d_n$ jest liczbą dziewcząt, siedzących między dwoma chłopcami, zaś $c_n$ - liczbą chłopców siedzących, między dwiema dziewczętami.

Olimpiady Matematyczne