Olimpiada Matematyczna

XXXIII OM - II - Zadanie 6

Dany jest takt skończony zbiór $B$ punktów przestrzeni, że każde dwie odległości między punktami tego zbioru są różne. Każdy punkt zbioru $B$ łączymy odcinkiem z najbliższym mu punktem zbioru $B$ . Otrzymamy w ten sposób zbiór odcinków, z których jeden (dowolnie wybrany) malujemy na czerwono, wszystkie pozostałe odcinki malujemy na zielono. Dowieść, że istnieją takie dwa punkty zbioru $B$ , których nie można połączyć łamaną złożoną z odcinków pomalowanych na zielono.

XXXIII OM - II - Zadanie 5

Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba

$ q^{(q+1)^n}+1 $

dzieli się przez $(q + 1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q + 1)^{n+2}$ .

XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech $A$ będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów $P, Q$ istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór $A$ na zbiór $A$ oraz punkt $P$ na punkt $Q$ . Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru $A$ .

XXXIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ zachodzi nierówność

$ \log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \log_n 6 \ldots \log_n (2n - 2) \leq 1. $

XXXIII OM - II - Zadanie 2

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

XXXIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $c, d$ są liczbami całkowitymi, przy czym $c \neq d$ , $d > 0$ to równanie

$ x^3 - 3cx^2 - dx + c = 0 $

ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

XXXIII OM - I - Zadanie 12

Niech S będzie zbiorem $n$ ( $n \geq 3$ ) punktów przestrzeni. Dla każdej płaszczyzny $\pi$ rozważamy liczbę $R(\pi)$ równą sumie odległości punktów zbioru $S$ od $\pi$ . Niech $\pi_0$ będzie taką płaszczyzną, że liczba $R(\pi_0)$ jest minimalna. Dowieść, że pewne trzy punkty zbioru $S$ należą do $\pi_0$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 11

Liczby rzeczywiste $u, v, w$ są pierwiastkami równania $x^3 + qx + r = 0$ , gdzie $r \neq 0$ . Wyrazić pierwiastki równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ w zależności od $u, v, w$ i wykazać, że nie ma ono pierwiastków w przedziale $(-1, 3)$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 10

W trójkącie $ABC$ punkty $A', B', C'$ są odpowiednio środkami boków $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ , $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta. Okrąg o środku $H$ przecina prosta $B'C', C'A', A'B'$ odpowiednio w punktach $D_1$ i $D_2$ , $E_1$ i $E_2$ , $F_1$ i $F_2$ . Udowodnić, że długości odcinków $\overline{AD_1}, \overline{AD_2}, \overline{BE_1}, \overline{BE_2}, \overline{CF_1}, \overline{CF_2}$ są równe.

XXXIII OM - I - Zadanie 9

W szachownicy utworzonej przez podział kwadratu o boku długości $n$ na kwadraty jednostkowe prostymi równoległymi do boków kwadratu rozpatrujemy wszystkie kwadraty, których boki zawarte są w prostych wyznaczających szachownicę. Niech $1 \leq k \leq n$ i $P(k,n)$ oznacza liczbę tych kwadratów, których długości boków nie przekraczają $k$ . Niech $k(n)$ będzie największą spośród takich liczb $k$ , że $P(k, n) \leq \frac{1}{2} P(n, n)$ . Obliczyć $\lim_{n\to \infty} \frac{k(n)}{n}$ .