Olimpiada Matematyczna

XXXIII OM - I - Zadanie 8

Dane są liczby naturalne $l, m, p, q, n$ spełniające warunki: $\frac{l}{m} < \frac{p}{q}$ i $m, q$ są względnie pierwsze. Udowodnić równoważność następujących warunków.
(1) Istnieje taka liczba naturalna $k$ , że

$ \frac{l}{m} < \frac{k}{n} < \frac{p}{q}. $

(2) Istnieją takie liczby naturalne $r, s$ , że ,

$ n=\frac{rm+sq}{pm-lq} $

XXXIII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że w dowolnym pięciokącie wypukłym, którego wszystkie boki mają długość a można umieścić trójkąt równoboczny o bokach długości $a$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ |\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 4x| + \ldots + |\cos 2^n x| \geq \frac{n}{2}. $

XXXIII OM - I - Zadanie 5

W pewnym zakładzie pracy każdy pracownik jest członkiem dokładnie jednego ze 100 związków zawodowych. Pracownicy mają wybrać dyrektora spośród dwóch kandydatów. Członkowie każdego ze związków umawiają się, czy wstrzymują się od głosu lub na którego z dwóch kandydatów będą głosować. Dowieść, że istnieje taki związek, że jeśli jego członkowie wstrzymają się od głosowania, a członkowie wszystkich innych związków będą głosować na któregoś z dwóch kandydatów, to kandydaci na dyrektora nie otrzymają równej liczby głosów.

XXXIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ 2^n\binom{n}{0} + 2^{n-1}\binom{n+1}{1} + 2^{n-2}\binom{n+2}{2} + \ldots + \binom{2n}{n} = 2^{2n}. $

XXXIII OM - I - Zadanie 3

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} a_5a_6\ldots a_n, $

gdzie

$ a_k = \frac{k^4-17k^2+16}{k^4-8k^2+16}. $

XXXIII OM - I - Zadanie 2

Niech $p$ będzie ustaloną liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba

$ \underbrace{11\ldots 1}\underbrace{22\ldots 2}\ldots \underbrace{99\ldots 9} - 123456789 $

dzieli się przez $p$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 1

Dwudziestopięciokąt foremny $A_1,A_2, \ldots, A_{25}$ wpisany jest w okrąg o środku $O$ i promieniu długości $r$ . Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}}$ ?

XXXIV OM - III - Zadanie 6

Wykazać, że jeśli wszystkie kąty dwuścienne czworościanu są ostre, to wszystkie jego ściany są trójkątami ostrokątnymi.

XXXIV OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są wektory $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ równe 1 lub 2, że długość wektora $\varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3}$ jest nie mniejsza od 2.

Olimpiady Matematyczne