Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXXIV OM - II - Zadanie 5

Dwusieczne kątów $CAB, ABC, BCA$ trójkąta $ABC$ przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach $K, L, M$ . Dowieść, że

$ AK+BL+CM > AB+BC+CA. $

XXXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $a(k)$ będzie największą liczbą nieparzystą, przez którą dzieli się $k$ . Udowodnić, że

$ \sum_{k=1}^{2^n} a(k) = \frac{1}{3}(4^n+2). $

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , przy czym $\measuredangle PAC = \measuredangle PBC$ . Punkty $L$ i $M$ są odpowiednio rzutami $P$ na proste $BC$ i $CA$ , $D$ jest środkiem odcinka $AB$ . Dowieść, że $DL = DM$ .

XXXIV OM - II - Zadanie 2

Dane są takie trzy liczby nieujemne $a, b, c$ , że suma każdych dwóch jest nie mniejsza od pozostałej. Dowieść, że

$ \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}. $

XXXIV OM - II - Zadanie 1

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 12

Na czworościanie $ABCD$ opisujemy sferę. $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ są płaszczyznami stycznymi do tej sfery odpowiednio w wierzchołkach $A, B, C, D$ , przy czym $\alpha \cap \beta = p$ , $\gamma \cap \delta = q$ i $p \cap CD \neq \emptyset$ . Udowodnić, że proste $q$ i $AB$ leżą w jednej płaszczyźnie.