Olimpiada Matematyczna

XXXIV OM - I - Zadanie 12

Na czworościanie $ABCD$ opisujemy sferę. $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ są płaszczyznami stycznymi do tej sfery odpowiednio w wierzchołkach $A, B, C, D$ , przy czym $\alpha \cap \beta = p$ , $\gamma \cap \delta = q$ i $p \cap CD \neq \emptyset$ . Udowodnić, że proste $q$ i $AB$ leżą w jednej płaszczyźnie.

XXXIV OM - I - Zadanie 11

Wyznaczyć liczbę takich podzbiorów zbioru $\{1, 2, \ldots, n\}$ które nie zawierają dwóch kolejnych liczb.

XXXIV OM - I - Zadanie 10

Czy istnieją trzy punkty płaszczyzny o współrzędnych postaci $a+b\sqrt[3]{2}$ , gdzie $a, b$ są liczbami wymiernymi, o tej własności, że co najmniej jedna z odległości dowolnego punktu płaszczyzny od każdego z tych punktów jest liczbą niewymierną?

XXXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby naturalne $m, n$ spełniają warunek $\sqrt{7} - \frac{m}{n}$ . Wykazać, że $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > \frac{1}{mn}$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 8

Rozstrzygnąć, czy w kuli o promieniu 1 zmieści się 20 czworościanów foremnych o krawędzi 1 mających wnętrza parami rozłączne.

XXXIV OM - I - Zadanie 7

Niech $S_n$ będzie zbiorem ciągów długości $n$ o wyrazach $-1$ , $+1$ . Określamy funkcję $f: S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)} \to S_n$ jak następuje: jeśli $(a_1, \ldots, a_n) \in S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)\}$ i $k = \max_{1\leq j \leq n} \{j \;:\; a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_j = 1\}$ , to $f(a_1,\ldots, a_n) = (a_1, \ldots, a_{k-1}, -a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n)$ . Udowodnić, że

$<br /> \underbrace{f\circ f\circ \ldots \circ f}_{2^n-1}(1, 1, \ldots, 1)= (-1,1,1, \ldots, 1).<br />$

XXXIV OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu $P$ wielomian $P\circ P \circ P \circ \ldots \circ P(x)-x$ dzieli się przez $P(x)-x$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić istnienie liczby $C_0$ o tej własności, że dla każdego ciągu $x_1, x_2, \ldots, x_N$ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $K$ , jeżeli liczba wyrazów $x_j$ nie mniejszych od $K$ jest nie większa od $\frac{N}{K}$ , to

$<br /> \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0.<br />$

XXXIV OM - I - Zadanie 4

We wnętrzu koła $K$ znajduje się $n$ kół, których środki leżą na średnicy $K$ . Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $K$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 3

Liczby $x_1, x_2$ są pierwiastkami równania $x^2+ax+b = 0$ , o współczynnikach całkowitych, przy czym $|x_1| < 1$ . Dowieść, że $\lim_{n\to \infty} \{x_2^n\} = 0$ , gdzie $\{t\}$ jest taką liczbą z przedziału $\langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$ , że $t+ \{t\}$ jest liczbą całkowitą.