Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXXIV OM - I - Zadanie 7

Niech $ S_n $ będzie zbiorem ciągów długości $ n $ o wyrazach $ -1 $, $ +1 $. Określamy funkcję $ f: S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)} \to S_n $ jak następuje: jeśli $ (a_1, \ldots, a_n) \in S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)\} $ i $ k = \max_{1\leq j \leq n} \{j \;:\; a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_j = 1\} $, to $ f(a_1,\ldots, a_n) = (a_1, \ldots, a_{k-1}, -a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n) $. Udowodnić, że

\[<br /> \underbrace{f\circ f\circ \ldots \circ f}_{2^n-1}(1, 1, \ldots, 1)= (-1,1,1, \ldots, 1).<br /> \]

XXXIV OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu $ P $ wielomian $ P\circ P \circ P \circ \ldots \circ P(x)-x $ dzieli się przez $ P(x)-x $.

XXXIV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić istnienie liczby $ C_0 $ o tej własności, że dla każdego ciągu $ x_1, x_2, \ldots, x_N $ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $ K $, jeżeli liczba wyrazów $ x_j $ nie mniejszych od $ K $ jest nie większa od $ \frac{N}{K} $, to

\[<br /> \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0.<br /> \]

XXXIV OM - I - Zadanie 4

We wnętrzu koła $ K $ znajduje się $ n $ kół, których środki leżą na średnicy $ K $. Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $ K $.

XXXIV OM - I - Zadanie 3

Liczby $ x_1, x_2 $ są pierwiastkami równania $ x^2+ax+b = 0 $, o współczynnikach całkowitych, przy czym $ |x_1| < 1 $. Dowieść, że $ \lim_{n\to \infty} \{x_2^n\} = 0 $, gdzie $ \{t\} $ jest taką liczbą z przedziału $ \langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle $, że $ t+ \{t\} $ jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 1

$ A $ rzuca monetą $ n $ razy, $ B $ rzuca $ n+1 $ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze $ B $ wyrzuci więcej orłów niż $ A $?

XXXV OM - III - Zadanie 6

Miejscowości $ P_1,\ldots, P_{1025} $ są obsługiwane przez linie lotnicze $ A_1, \ldots, A_{10} $, przy czym dla każdych miejscowości $ P_k $ i $ P_m $ ($ k \neq m $) istnieje taka linia, której samoloty latają bezpośrednio z $ P_k $ do $ P_m $ oraz bezpośrednio z $ P_m $ do $ P_k $. Udowodnić, że któraś z tych linii może oferować podróż z nieparzystą liczbą lądowań rozpoczynającą i kończącą się w tej samej miejscowości.

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $ n $-krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $ (a_1, a_2, \ldots, a_n) $, gdzie $ a_i = 1 $ lub $ a_i = 2 $ w zależności od tego, czy w $ i $-tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $ b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j $ dla $ j = 1, 2,\ldots, n $, $ p(n) $ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $ (b_1, b_2, \ldots, b_n) $ wystąpi liczba $ n $. Wyznaczyć $ p(n) $ w zależności od $ p(n-1) $ i $ p(n-2) $.

Subskrybuje zawartość