1980-1989

XXXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ a(k) $ będzie największą liczbą nieparzystą, przez którą dzieli się $ k $. Udowodnić, że

\[<br /> \sum_{k=1}^{2^n} a(k) = \frac{1}{3}(4^n+2).<br /> \]

XXXIV OM - II - Zadanie 3

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, przy czym $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBC $. Punkty $ L $ i $ M $ są odpowiednio rzutami $ P $ na proste $ BC $ i $ CA $, $ D $ jest środkiem odcinka $ AB $. Dowieść, że $ DL = DM $.

XXXIV OM - II - Zadanie 2

Dane są takie trzy liczby nieujemne $ a, b, c $, że suma każdych dwóch jest nie mniejsza od pozostałej. Dowieść, że

\[<br /> \sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}.<br /> \]

XXXIV OM - II - Zadanie 1

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 12

Na czworościanie $ ABCD $ opisujemy sferę. $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ są płaszczyznami stycznymi do tej sfery odpowiednio w wierzchołkach $ A, B, C, D $, przy czym $ \alpha \cap \beta = p $, $ \gamma \cap \delta = q $ i $ p \cap CD \neq \emptyset $. Udowodnić, że proste $ q $ i $ AB $ leżą w jednej płaszczyźnie.

XXXIV OM - I - Zadanie 11

Wyznaczyć liczbę takich podzbiorów zbioru $ \{1, 2, \ldots, n\} $ które nie zawierają dwóch kolejnych liczb.

XXXIV OM - I - Zadanie 10

Czy istnieją trzy punkty płaszczyzny o współrzędnych postaci $ a+b\sqrt[3]{2} $, gdzie $ a, b $ są liczbami wymiernymi, o tej własności, że co najmniej jedna z odległości dowolnego punktu płaszczyzny od każdego z tych punktów jest liczbą niewymierną?

XXXIV OM - I - Zadanie 8

Rozstrzygnąć, czy w kuli o promieniu 1 zmieści się 20 czworościanów foremnych o krawędzi 1 mających wnętrza parami rozłączne.

XXXIV OM - I - Zadanie 7

Niech $ S_n $ będzie zbiorem ciągów długości $ n $ o wyrazach $ -1 $, $ +1 $. Określamy funkcję $ f: S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)} \to S_n $ jak następuje: jeśli $ (a_1, \ldots, a_n) \in S_n - \{(-1, 1, 1,\ldots, 1)\} $ i $ k = \max_{1\leq j \leq n} \{j \;:\; a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_j = 1\} $, to $ f(a_1,\ldots, a_n) = (a_1, \ldots, a_{k-1}, -a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n) $. Udowodnić, że

\[<br /> \underbrace{f\circ f\circ \ldots \circ f}_{2^n-1}(1, 1, \ldots, 1)= (-1,1,1, \ldots, 1).<br /> \]
Subskrybuje zawartość