1970-1979

XXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $x_n = (p + \sqrt{q})^n - [(p + \sqrt{q})^n]$ dla $n = 1, 2, 3, \ldots$ . Dowieść, że jeżeli $p$ , $q$ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunek $p - 1 < \sqrt{q} < p$ , to $\lim_{n\to \infty} x_n = 1$ .
Uwaga. Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

XXIV OM - II - Zadanie 3

Niech $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ będzie funkcją rosnącą spełniającą warunki:
1. $f(x+1) = f(x) + 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ ,
2. istnieje taka liczba całkowita p, że $f(f(f(O))) = p$ . Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{p}{3}. $

gdzie $x_1 = x$ oraz $x_n =f(x_{n-1})$ dla $n = 2, 3, \ldots$ .

XXIV OM - II - Zadanie 2

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $\frac{1}{8}$ pola kwadratu.

XXIV OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $x, y, z$ spełniają nierówność

$ \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1, $

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

XXIV OM - I - Zadanie 12

W klasie, w której jest n uczniów, urządzono mikołajki. Każdy uczeń losuje nazwisko osoby, której ma kupić prezent, zatem uczeń $A_1$ kupuje prezent uczniowi $A_2$ , $A_2$ kupuje prezent $A_3$ , ..., $A_k$ kupuje prezent $A_1$ , gdzie $1 \leq k \leq n$ . Zakładając, że wszystkie wyniki losowań są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $k = n$ .

XXIV OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że jeżeli środek kuli opisanej na czworościanie pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan, to ściany tego czworościanu są przystające.

XXIV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $n > 1$ o następującej własności: istnieje taki zbiór $Z$ złożony z $n$ punktów płaszczyzny, że każda prosta $AB$ ( $A, B\in Z$ ) jest równoległa do pewnej innej prostej $CD$ ( $C, D \in Z$ ).