Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

V OM - III - Zadanie 3

Jednorodną tarczę kołową zawieszono w położeniu poziomym na sznurze uczepionym w jej środku $O$ . W trzech różnych punktach $A$ , $B$ , $C$ brzegu tarczy położono ciężary $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ , po czym tarcza pozostała w równowadze. Obliczyć kąty $AOB$ , $BOC$ i $COA$ .

V OM - III - Zadanie 2

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $A$ , $B$ i $C$ , jeżeli

$ (1) \qquad \ctg A + \frac{\cos B}{\sin A \cos C} = \ctg B + \frac{\cos A}{\sin B \cos C}. $

V OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że w trapezie równoramiennym opisanym na kole odcinki łączące punkty styczności boków przeciwległych z kołem przechodzą przez punkt przecięcia przekątnych.

V OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $x_1, x_2, \ldots, x_n$ są kątami zawartymi między $0^\circ$ i $180^\circ$ , a $n$ jest dowolną liczbą naturalną większą niż $1$ , to

$ (1) \qquad \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n. $

V OM - II - Zadanie 5

Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ i $D$ nie leżące w jednej płaszczyźnie. Przeprowadzić przez punkt $A$ taką płaszczyznę, żeby rzut prostokątny czworokąta $ABCD$ na tę płaszczyznę był równołegłobokiem.

V OM - II - Zadanie 4

Podać warunki przy których równanie

$ \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} = \sqrt{x - c } $

ma pierwiastki zakładając, że liczby $a$ , $b$ , $c$ są parami różne.

V OM - II - Zadanie 3

Dane są: punkt $A$ , prosta $p$ i okrąg $k$ . Wykreślić trójkąt $ABC$ o kątach $A = 60^\circ$ , $B = 90^\circ$ , którego wierzchołek $B$ leży na prostej $p$ , a wierzchołek $C$ - na okręgu $k$ .

V OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .

V OM - II - Zadanie 1

Przekrój łożyska kulkowego składa się z dwóch okręgów współśrodkowych $C$ i $C_1$ , między którymi znajduje się $n$ małych okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , przy czym każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich i do obu okręgów $C$ i $C_1$ . Mając dany promień $r$ wewnętrznego okręgu $C$ oraz liczbę naturalną $n$ obliczyć promień $x$ okręgu $C_2$ przechodzącego przez punkty styczności okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ i sumę $s$ długości tych łuków okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , które leżą na zewnątrz okręgu $C_2$ .