Ciągi

XLVII OM - I - Zadanie 2

Liczbą palindromiczną nazywamy taką liczbę naturalną, której zapis dziesiętny czytany od strony lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od strony prawej do lewej. Niech $(x_n)$ bedzie rosnącym ciągiem wszystkich liczb palindromicznych. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są dzielnikami co najmniej jednej z różnic $x_{n+1}-x_n$ .

XLIX OM - I - Zadanie 9

Niech $a_0 = 0,91$ oraz

$ a_k =0, \underbrace{99\ldots 9}_{2^k}\underbrace{00\ldots 0}_{2^k-1}1 \textrm{ dla } k = 1,2,3,\ldots. $

Obliczyć $\lim_{n\to\infty}(a_0a_1\ldots a_n)$ .

XLIX OM - I - Zadanie 3

Ciągi $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ są określone przez warunki:

$ a_1=4, \quad a_{n+1} = a_n(a_n-1), \quad 2^{b_n}=a_n, \quad 2^{n-c_n}=b_n $

dla $n = 1,2,3,\ldots$ . Wykazać, że ciąg $(c_n)$ jest ograniczony.

XLVIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg $a_1, a_2, a_3,\ldots$ jest określony wzorami

$ a_1 = 0, \quad a_n = a_{[n/2]} + (-1)^{n(n+1)/2}\quad \textrm{dla}\ n > 1. $

Dla każdej liczby całkowitej $k \geq 0$ wyznaczyć liczbę numerów $n$ spełniających warunki

$ 2^k \leq n < 2^{k+1}, \qquad a_n = 0. $

Uwaga: $[n/2]$ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $n/2$ .

XLIX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że w ciągu $(a_n)$ określonym wzorami

$ a_1 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{[n/2]}\ \textrm{dla}\ n = 2,3,4,\ldots $

występuje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez $7$ .

Uwaga: $[n/2]$ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $n/2$ .

XLIX OM - III - Zadanie 2

Ciąg Fibonacciego $(F_n)$ jest dany wzorami:

$ F_0 = F_1 = 1,\ F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \ \textrm{dla}\ n = 0,1, 2,\ldots . $

Wyznaczyć wszystkie pary $(k, m)$ liczb całkowitych $m > k \geq 0$ , dla których w ciągu $(x_n)$ określonym wzorami

$ x_0=\frac{F_k}{F_m}, \quad x_{n+1}= \left\{\begin{array}{cll} \frac{2x_n-1}{1-x_n}&\textrm{gdy}&x_n \neq 1\\ 1&\textrm{gdy}&x_n = 1 \end{array}\right. \quad (n=0,1,2,3,\ldots) $

występuje liczba $1$ .

L OM - I - Zadanie 10

Dana jest liczba $x_1 > 0$ . Ciag $(x_n)$ jest zdefiniowany wzorem:

$ x_{n+1} = x_n +\frac{1}{x_n^2}\quad \textrm{dla}\ n = 1, 2, 3,\ldots . $

Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}$ i obliczyć ją.

LII OM - III - Zadanie 3

Rozważamy ciąg $(x_n)$ określony rekurencyjnie wzorami

$ x_{1}=a,\ x_{2}=b\ \textrm{oraz}\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n=1,2,3,\ldots, $

gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Liczbę $c$ będziemy nazywać wartością wielokrotną ciągu $(x_n)$ , jeżeli istnieją co najmniej dwie różne liczby całkowite dodatnie $k$ i $l$ takie, że $x_k = x_l = c$ . Wykazać, że można tak dobrać liczby $a$ i $b$ , aby ciąg $(x_n)$ miał więcej niż $2000$ wartości wielokrotnych, ale nie można tak dobrać $a$ i $b$ , aby miał on nieskończenie wiele wartości wielokrotnych.

LII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n \geq 3$ , dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $n$ -wyrazowym ciągu arytmetycznym $a_1, a_2,\ldots,a_n$ , dla którego liczba $1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n$ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.