Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

V OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .

Przekrój łożyska kulkowego składa się z dwóch okręgów współśrodkowych $C$ i $C_1$ , między którymi znajduje się $n$ małych okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , przy czym każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich i do obu okręgów $C$ i $C_1$ . Mając dany promień $r$ wewnętrznego okręgu $C$ oraz liczbę naturalną $n$ obliczyć promień $x$ okręgu $C_2$ przechodzącego przez punkty styczności okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ i sumę $s$ długości tych łuków okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , które leżą na zewnątrz okręgu $C_2$ .

V OM - I - Zadanie 11

Dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $M$ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $M$ na proste $a$ i $b$ jest stała, równa danemu odcinkowi $d$ .

V OM - I - Zadanie 10

Obliczyć $x^{13} + \frac{1}{x^{13}}$ wiedząc, że $x + \frac{1}{x} = a$ , gdzie $a$ jest liczbą daną.

V OM - I - Zadanie 9

Punkty $A, B, C, D, \ldots$ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

$ \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}. $

Ile boków ma ten wielokąt?

V OM - I - Zadanie 8

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $AB$ ze środkiem odcinka $CD$ .

V OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ . Znaleźć na prostej $p$ taki punkt $M$ , żeby suma kwadratów $AM^2 + BM^2$ była jak najmniejsza.