Liczby całkowite

XXIV OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $m$ istnieje taki wielomian w o współczynnikach całkowitych, że $2^m$ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb

$ a_n = 3^n + w(n), n = 0, 1, 2, \ldots . $

XXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają warunki:

$ |x_i|=1 \quad (i = \, 2, \ldots, n), $

$ x_1x_2+ x_2x_3 + \ldots +x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0. $

Udowodnić, że liczba $n$ jest podzielna przez 4.

Niech $w(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $d$ jest dzielnikiem każdej z liczb $a_n = 3^n + w(n)$ , gdzie $n = 0, 1, 2, \ldots$ , to $d$ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

XXIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że spośród 25 różnych liczb dodatnich można wybrać dwie, których ani suma, ani różnica nie jest równa żadnej z pozostałych liczb.

XXV OM - III - Zadanie 6

Podzielono $n$ -kąt wypukły przekątnymi na trójkąty w ten sposób, że
1° z każdego wierzchołka wychodzi parzysta liczba przekątnych,
2° żadne dwie przekątne nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Udowodnić, że $n$ jest podzielne przez 3.

XXVI - III - Zadanie 4

W rozwinięciu dziesiętnym pewnej liczby naturalnej występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez 7.

XXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

$ \sum_{i=0}^{24} \binom{100}{4i+1} = 2^{98}. $

XXX OM - III - Zadanie 1

Dany jest zbiór $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\}$ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $m$ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $k > \frac{m}{2}$ , to dla każdej liczby całkowitej $n$ istnieją takie $i$ oraz $j$ ( $n$ niekoniecznie różne), że liczba $r_i + r_j - n$ jest podzielna przez $m$ .