Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Nierówności

XLI OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ \binom{2n}{n}\cdot \sqrt{3n} < 4^n $

XLII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $x,y,z$ takich, że $x^2+y^2+z^2 = 2$ spełniona jest nierówność $x+y+z\leq 2+xyz$ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

XLII OM - II - Zadanie 1

Liczby $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ , $d_i$ spełniają warunki $0\leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i$ oraz $a_i+b_i = c_i+d_i$ dla $i=1,2,\ldots,n$ . Udowodnić, że

$ \prod_{i=1}^n a_i + \prod_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n c_i + \prod_{i=1}^n d_i $

XLII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające nierówność

$ 2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|. $

XLIII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \ldots , a_r$ zachodzi nierówność

$ \sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0. $

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $a_1, a_2, \ldots , a_r$ nierówność ta staje się równością.

XLIII OM - II - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Niech $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$

zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i. $

Dla każdej liczby naturalnej $k\in \{1,2,\ldots, n-1\}$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

XLIII OM - I - Zadanie 10

Danych jest $n$ liczb $a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$ . Przyjmujemy

$ M_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i,\; M_2 = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{1\leq i < j\leq n} a_ia_j, \; Q = \sqrt{M_1^2 - M_2}. $

Udowodnić, że

$ a_1 \leq M_1 - Q \leq M + Q \leq a_n $

XLIII OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ABCD$ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $1$ . Okręgi wpisane w ściany $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ mają promienie $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , $r_D$ . Udowodnić, że