Planimetria

IX OM - I - Zadanie 4

Dany jest odcinek $AH$ i na nim punkt $M$ ; zbudować trójkąt $ABC$ w ten sposób, żeby odcinek $AH$ był jedną z wysokości trójkąta $ABC$ , a punkt $M$ - środkiem jednej z pozostałych wysokości.

Od trójkąta $ABC$ odcięto trzy trójkąty narożne prostymi równoległymi do boków trójkąta i stycznymi do kola wpisanego w ten trójkąt. Dowieść, że suma promieni kół wpisanych w trójkąty odcięte równa się promieniowi koła wpisanego w trójkąt $ABC$ .

X OM - III - Zadanie 6

Dany jest trójkąt, w którym boki $a$ , $b$ , $c$ tworzą postęp arytmetyczny, a kąty tworzą też postęp arytmetyczny. Znaleźć stosunki boków tego trójkąta.

X OM - III - Zadanie 2

W trójkącie równobocznym $ABC$ obrano punkt $O$ i opuszczono prostopadle $OM$ , $ON$ , $OP$ odpowiednio na boki $BC$ , $CA$ , $AB$ . Dowieść, że suma odcinków $AP$ , $BM$ , $CN$ nie zależy od położenia punktu $O$ .

X OM - II - Zadanie 2

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

X OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ABC$ liczby $\tg A$ , $\tg B$ i $\tg C$ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $\sin 2A$ , $\sin 2B$ i $\sin 2C$ tworzą również postęp arytmetyczny.

X OM - I - Zadanie 11

Po tej samej stronie prostej $AB$ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $AB = a + b$ , $AC = a$ , $CB = b$ . Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $a$ i $b$ .

X OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli na każdym z czworokątów $ABCD$ i $CDEF$ można opisać okrąg, a proste $AB$ , $CD$ , $EF$ przecinają się w jednym punkcie $M$ , to na czworokącie $ABEF$ można opisać okrąg.