Stereometria

XXIV OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że jeżeli środek kuli opisanej na czworościanie pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan, to ściany tego czworościanu są przystające.

XXIV OM - I - Zadanie 6

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ ABCD $ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $ AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2 $.

XXIV OM - I - Zadanie 4

W czworościanie $ ABCD $ na, prostej łączącej środki krawędzie $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ obrano dowolny punkt $ P $ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $ PA $, $ PB $, $ PC $, $ PD $ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $ AB $ i $ CD $ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ ABCD $ krawędź $ \overline{AB} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $ i $ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB $. Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $.

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $ D $ czworościanu $ ABCD $ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ należą do jednej płaszczyzny.

XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

XXV - I - Zadanie 8

Dany jest wielościan wypukły i punkt $ A $ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $ S $ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $ A $ na jej płaszczyznę należy do $ S $.

XXVI - III - Zadanie 2

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano skończony zbiór odcinków w taki sposób, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków. Czy można wybrać ten zbiór odcinków tak, aby ich łączna długość była mniejsza niż $ 1 + \sqrt{3} $?

XXVI - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą ścianę tego wielościanu można pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.

XXVI - I - Zadanie 12

W przestrzeni dany jest sześcian o boku $ a $, i kule $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ o dowolnych promieniach takie, że każdy punkt sześcianu należy do którejś z kul. Udowodnić, że spośród tych kul można wybrać parami rozłączne kule takie, że suma ich objętości jest nie mniejsza od $ \left(\frac{a}{5}\right)^3 $.

Subskrybuje zawartość