Wielomiany

XLVII OM - I - Zadanie 9

Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian $x^2 - 12x + 11$ resztę $990x - 889$ . Wykazaż, że wielomian te nie ma pierwiastków całkowitych.

Dana jest liczba naturalna $m\geq 1$ oraz wielomian $P(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

XLVIII OM - I - Zadanie 6

Wielomian $P(x)$ stopnia $n$ spełnia warunek

$ P(k)=\frac{1}{k}\ \textrm{dla}\ k = 1,2,4,8,\dots,2^n. $

Obliczyć $P(0)$ .

XLIX OM - I - Zadanie 12

Niech $g(k)$ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $k$ , gdy $|k|\geq 2$ , oraz przyjmijmy $g(-1) = g(0) =g(1) = 1$ . Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $W$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $g(W(x))$ ( $x$ - całkowite) jest skończony.

L OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ mające dokładnie $n$ pierwiastków nie większych niż $-1$ oraz spełniające warunek

$ a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} . $

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $x_0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $P(x)$ (tzn. jeśli wielomian $P(x)$ jest podzielny przez wielomian $(x - x_0)^k$ , ale nie przez $(x - x_0)^{k+1}$ ), wówczas liczba $x_0$ jest traktowana jak $k$ pierwiastków wielomianu $P(x)$ .

LI OM - II - Zadanie 6

Wielomian $w(x)$ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych $x$ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $w(x)$ jest kwadratem pewnego wielomianu.

LII OM - II - Zadanie 3

Niech $n \geq 3$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

$ x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0}, $

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $a_0,a_1,\ldots, a_{n-3}$ jest różny od zera, ma mniej niż $n$ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).