Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

V OM - II - Zadanie 4

Podać warunki przy których równanie

\[<br /> \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} = \sqrt{x - c }<br /> \]

ma pierwiastki zakładając, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są parami różne.

V OM - II - Zadanie 3

Dane są: punkt $ A $, prosta $ p $ i okrąg $ k $. Wykreślić trójkąt $ ABC $ o kątach $ A = 60^\circ $, $ B = 90^\circ $, którego wierzchołek $ B $ leży na prostej $ p $, a wierzchołek $ C $ - na okręgu $ k $.

V OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $.

V OM - II - Zadanie 1

Przekrój łożyska kulkowego składa się z dwóch okręgów współśrodkowych $ C $ i $ C_1 $, między którymi znajduje się $ n $ małych okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $, przy czym każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich i do obu okręgów $ C $ i $ C_1 $. Mając dany promień $ r $ wewnętrznego okręgu $ C $ oraz liczbę naturalną $ n $ obliczyć promień $ x $ okręgu $ C_2 $ przechodzącego przez punkty styczności okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $ i sumę $ s $ długości tych łuków okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $, które leżą na zewnątrz okręgu $ C_2 $.

V OM - I - Zadanie 11

Dane są dwie przecinające się proste $ a $ i $ b $. Znaleźć miejsce geometryczne punktu $ M $ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $ M $ na proste $ a $ i $ b $ jest stała, równa danemu odcinkowi $ d $.

V OM - I - Zadanie 9

Punkty $ A, B, C, D, \ldots $ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

\[<br /> \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}.<br /> \]

Ile boków ma ten wielokąt?

V OM - I - Zadanie 8

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $ AB $ ze środkiem odcinka $ CD $.

V OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ p $ oraz punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na prostej $ p $ taki punkt $ M $, żeby suma kwadratów $ AM^2 + BM^2 $ była jak najmniejsza.

Subskrybuje zawartość