2000-2009

LIV OM - I - Zadanie 3

Trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu $o$ . Proste styczne do okręgu $o$ w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$ . Prosta styczna do okręgu $o$ w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $Q$ . Udowodnić, że

$ PQ^2 = PB^2 + QC^2. $

LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $a_1 > 1$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ wzorem

$ a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1. $

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}. $

LIV OM - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $x$ , $y$ spełniających równanie

$ (x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1. $

LV OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $m> 1$ . Nieskończony ciąg liczb całkowitych $x_0,x_1,x_2,\ldots$ jest określony przez warunki

$ x_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 2^{i}&\textrm{dla}\ i<m,\\ x_{i-1}+x_{i-2}+\ldots+x_{i-m}&\textrm{dla}\ i \geq m. \end{array}\right. $

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $k$ , dla której istnieje $k$ kolejnych wyrazów tego ciągu podzielnych przez $m$ .

LV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć największą liczbę prostych w przestrzeni, przechodzących przez ustalony punkt i takich, że każde dwie przecinają się pod jednakowym kątem.

LV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, to

$ \begin{array}{l} \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}\geq \\ \qquad \qquad \qquad \geq\sqrt{3(a+b)^{2}+3(b+c)^{2}+3(c+a)^{2}}. \end{array} $

LV OM - III - Zadanie 3

W pewnym turnieju wzięło udział $n$ zawodników $(n \geq 3)$ . Każdy grał z każdym dokładnie jeden raz, nie było remisów. Trójelementowy zbiór zawodników nazwiemy trójką remisową, jeśli można tak ponumerować tych trzech zawodników, że pierwszy wygrał z drugim, drugi z trzecim, a trzeci z pierwszym. Wyznaczyć największą liczbę trójek remisowych, jaka mogła się pojawić w turnieju.

LV OM - III - Zadanie 2

Niech $W$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $W$ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.

LV OM - III - Zadanie 1

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi styczne do prostych $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $A$ i $B$ przechodzą przez punkt $D$ i przecinają się po raz drugi w punkcie $E$ . Niech $F$ będzie punktem symetrycznym do punktu $C$ względem symetralnej odcinka $AB$ . Wykazać, że punkty $D$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.

LV OM - II - Zadanie 6

Na przyjęciu spotkało się $n$ osób $(n \geq 5)$ . Wiadomo, że wśród dowolnych trzech osób pewne dwie znają się. Dowieść, że spośród uczestników przyjęcia można wybrać nie mniej niż $n/2$ osób i posadzić przy okrągłym stole tak, aby każdy siedział między dwoma swoimi znajomymi.

Olimpiady Matematyczne