1990-1999

XLIV OM - II - Zadanie 4

Niech $(x_n)$ będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że:

$ x_1 = 1 \quad \text{ oraz } \quad x_n < x_{n +1} \leq 2n \quad \text{ dla } n=1,2,3,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ istnieją takie liczby $r$ i $s$ , że $x_r - x_s = k$ .

Na krawędzi $|OA_1|$ czworościanu $|OA_1B_1C_1|$ wybrano punkty $A_2$ , $A_3$ tak, że $|OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O$ . Niech $B_2$ , $B_3$ będą takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , a $C_2$ , $C_3$ - takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , że płaszczyzny $|A_1B_1C_1|$ , $|A_2B_2C_2|$ , $|A_3B_3C_3|$ są równoległe. Oznaczmy przez $V_i$ ( $i=1,2,3$ ) objętość czworościanu $|OA_iB_iC_i|$ , a przez $V$ objętość czworościanu $|OA_1B_2C_3|$ . Udowodnić, że $V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V$ .

XLIV OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg o środku $O$ oraz punkt $P$ leżący na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt $P$ prowadzimy prostą $l$ przecinającą dany okrąg w punktach $A$ i $B$ . Niech $C$ będzie punktem symetrycznym do $B$ względem prostej $OP$ i niech m będzie prostą przechodzącą przez punkty $A$ i $C$ . Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $m$ (odpowiadające różnym wyborom prostej $l$ ) mają wspólny punkt.

XLIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że dla liczb dodatnich $x$ , $y$ , $u$ , $v$ zachodzi nierówność

$ \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v} $

XLIV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że wielomian $x^n + 4$ jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą podzielną przez $4$ .

XLIV OM - I - Zadanie 11

W sześciu różnych okienkach tabeli o wymiarach $n \times n$ stawiamy krzyżyk; wszystkie układy krzyżyków są jednakowo prawdopodobne. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem tego, że w pewnym rzędzie poziomym lub pionowym znajdą się co najmniej dwa krzyżyki. Obliczyć granicę ciągu $(np_n)$ , gdy $n \to \infty$ .

XLIV OM - I - Zadanie 10

Funkcja $f$ przekształcająca sześcian $\mathcal{C}$ na $\mathcal{C}$ spełnia warunek

$ |PQ| \geq |f(P)f(Q)| \quad \text{ dla } P,Q\in \mathcal{C}. $

Wykazać, że $f$ jest izometrią.

XLIV OM - I - Zadanie 9

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność

$ \begin{split} (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)&(c^2+a^2-b^2) \leq \\ &\leq (a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \end{split} $

XLIV OM - I - Zadanie 8

Dla ustalonej liczby naturalnej $n \geq 2$ wyznaczyć maksymalną wartość sumy liczb naturalnych $k_1, k_2, \ldots , k_n$ spełniających warunek

$ k_1^3 + k_2^3 + \ldots k_n^3 \leq 7n $

XLIV OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dane są punkty

$ A_0 = (0,0,0),\; A_1 = (1,0,0),\; A_2 = (0,1,0),\; A_3 = (0,0,1). $

Niech $P_{ij}$ ( $i,j \in \{0,1,2,3\}$ ) będą punktami wyznaczonymi przez równość $\overrightarrow{A_0P_{ij}} = \overrightarrow{A_iA_j}$ . Obliczyć objętość najmniejszego wielościanu wypukłego zawierającego wszystkie punkty $P_ij$ .

Olimpiady Matematyczne