Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXXV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $ 5^n $, której zapis w układzie dziesiętnym składa się $ n $ cyfr różnych od zera.

XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $ o(O_1, r_1) $ i $ o(O_2, r_2) $ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $ A $ i $ B $. Punkt $ C $ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $ AB $, $ R $ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, $ d = O_1O_2 $ Udowodnić, że $ \measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2 $.

XXXV OM - I - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wartości $ p, q $, dla których nierówność

\[<br /> |\sqrt{1-x^2} - px - q| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)<br /> \]

zachodzi dla każdego $ x $ z przedziału $ [0; 1] $.

XXXV OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru $ a $, dla których układ równań

\[<br /> \begin{split}<br /> x + y + z &= 2,\\<br /> xy + yz +zx &= 1,\\<br /> xyz &= a.<br /> \end{split}<br /> \]

ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

XXXV OM - I - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy sześciokąt foremny można pokryć sześcioma kołami o średnicy równej długości boku sześciokąta.

XXXVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w wielościanie wypukłym mającym $ k $ ścian istnieje więcej niż $ k/2 $ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi, to w wielościan ten nie można wpisać kuli.

XXXVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ P $ będzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ zachodzi równość $ P(\cos t, \sin t) = 0 $. Dowieść, że istnieje taki wielomian $ Q $, że ma miejsce tożsamość

\[<br /> P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).<br /> \]

XXXVI OM - III - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ dany jest punkt odległy odpowiednio o $ d_a, d_b, d_c $ od prostych $ BC, CA, AB $. Niech $ r $ będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $. Udowodnić, że

\[<br /> \frac{}{\frac{1}{d_a} + \frac{1}{d_b} + \frac{1}{d_c}} <r < \frac{1}{2}(d_a + d_b + d_c)<br /> \]

XXXVI OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełnia dla każdego $ x \in \mathbb{R} $ równość $ f(3x) = 3f(x) — 4(f(x))^3 $ i jest ciągła w punkcie 0, to wszystkie jej wartości należą do przedziału $ \langle -1;1\rangle $.

Subskrybuje zawartość