Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXXVI OM - III - Zadanie 2

Dany jest kwadrat o boku długości 1 oraz liczby dodatnie $ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n $ nie większe od 1 takie, że $ a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100 $. Udowodnić, że można pokryć ten kwadrat prostokątami $ P_i $ ($ i = 1,2,\ldots,n $) o bokach długości $ a_i, b_i $ równoległych do boków kwadratu.

XXXVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć największą liczbę $ k $ taką, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ istnieje co najmniej $ k $ liczb naturalnych większych od $ n $, mniejszych od $ n+17 $ i względnie pierwszych z iloczynem $ n(n+17) $.

XXXVI OM - II - Zadanie 6

W przestrzeni dane są różne punkty $ A, B, C_0, C_1, C_2 $, przy czym $ |AC_i| = 2 |BC_i| $ dla $ i = 0,1,2 $ oraz $ |C_1C_2|=\frac{4}{3}|AB| $. Dowieść, że kąt $ C_1C_0C_2 $, jest prosty i punkty $ A, B, C_1, C_2 $ leżą na jednej płaszczyźnie.

XXXVI OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $ n $ większej od 1 następujące warunki są równoważne:

a) $ n $ jest liczbą parzystą,

b) istnieje permutacja $ (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}) $ zbioru $ \{0,1,2,\ldots,n—1\} $ o tej własności, że ciąg reszt z dzielenia przez $ n $ liczb $ a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, a_0 + a_1 + a_2 +\ldots a_{n-1} $ jest też permutacją tego zbioru.

XXXVI OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli dla liczb naturalnych $ a, b $ liczba $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $ jest wymierna, to $ a, b $ są sześcianami liczb naturalnych.

XXXVI OM - II - Zadanie 3

Niech $ L $ będzie zbiorem wszystkich łamanych $ ABCDA $, gdzie $ A, B, C, D $ są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru $ L $ losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

XXXVI OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $ n > 2 $ liczba $ n! $ jest sumą $ n $ różnych swoich dzielników.

XXXVI OM - II - Zadanie 1

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $. Niech $ a, b, c $ będą odpowiednio długościami boków $ BC $, $ CA $, $ AB $, zaś $ x, y, z $ odległościami punktu $ P $ od wierzchołków $ B, C, A $. Dowieść, że jeżeli

\[<br /> \begin{split}<br /> x^2 + xy + y^2 &= a^2 \\<br /> y^2 + yz + z^2 &= b^2 \\<br /> z^2 + zx + x^2 &= c^2,<br /> \end{split}<br /> \]

to

\[<br /> a^2 + ab + b^2 > c^2.<br /> \]

XXXVI OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1}].<br /> \]

Uwaga. $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

XXXVI OM - I - Zadanie 11

Podać przykład wielościanu wypukłego mającego 1985 ścian, wśród których są takie 993 ściany, że żadne dwie z nich nie mają wspólnej krawędzi.

Subskrybuje zawartość