Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXXVI OM - I - Zadanie 9

W urnie jest 1985 kartek z napisanymi liczbami 1,2,3,..., 1985, każda lczba na innej kartce. Losujemy bez zwracania 100 kartek. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy liczb napisanych na wylosowanych kartkach.

XXXVI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że jeśli $ (a_n) $ jest takim ciągiem liczb rzeczywistych, że $ a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n $ dla $ n = 1,2,\ldots $, to $ a_{k+9} = a_k $ dla $ k = 1,2,\ldots $.

XXXVI OM - I - Zadanie 7

Dana jest rodzina $ A $ dwuelementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Udowodnić, że istnieje taki podzbiór nieskończony $ M $ zbioru liczb naturalnych, że albo wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru $ M $ należą do $ A $, albo żaden dwuelementowy podzbiór $ M $ nie należy do $ A $.

XXXVI OM - I - Zadanie 6

Obliczyć długości równoległych boków trapezu znając długości pozostałych boków i przekątnych.

XXXVI OM - I - Zadanie 5

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $ (x_j) $, $ (y_j) $. Niech

\[<br /> z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots .<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $ m $ zachodzi $ z_j = 0 $ dla $ j < m $ oraz $ z_m = 1 $, to istnieją takie liczby naturalne $ p, q $, że $ x_py_q = m $.

XXXVI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

XXXVI OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

Subskrybuje zawartość