Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXXVI OM - I - Zadanie 5

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $(x_j)$ , $(y_j)$ . Niech

$<br /> z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots .<br />$

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $m$ zachodzi $z_j = 0$ dla $j < m$ oraz $z_m = 1$ , to istnieją takie liczby naturalne $p, q$ , że $x_py_q = m$ .

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

XXXVI OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

XXXVII OM - III - Zadanie 6

W trójkącie $ABC$ punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi wierzchołków $B$ i $C$ na dwusieczną kąta $BAC$ , punkt $M$ jest spodkiem wysokości trójkąta $ABC$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ , a punkt $N$ jest środkiem boku $BC$ . Wykazać, że punkty $K$ , $L$ , $M$ i $N$ leżą na jednym okręgu.

XXXVII OM - III - Zadanie 5

W turnieju szachowym uczestniczy $2n$ ( $n > 1$ ) zawodników, przy czym każdych dwóch spośród nich rozgrywa między sobą co najwyżej jedną partię. Dowieść, że taki przebieg rozgrywek, w którym żadna trójka uczestników nie rozgrywa trzech partii między sobą jest możliwy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wszystkich partii rozegranych w turnieju nie przekracza $n^2$ .