Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXXVII OM - II - Zadanie 2

W turnieju szachowym uczestniczy 66 zawodników, każdy z każdym rozgrywa jedną partią, rozgrywki odbywają się w czterech miastach. Udowodnić, że pewna trójka zawodników rozgrywa wszystkie partie między sobą w tym samym mieście.

XXXVII OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ciągłe w zerze i takie, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br /> 2f(2x) = f(x) + x.<br /> \]

XXXVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli prosta łącząca środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu przechodzi przez środek kuli wpisanej w ten czworościan, to przechodzi również przez środek kuli opisanej na tym czworościanie.

XXXVII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy kostką najpierw raz, a następnie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną sumy wyrzuconych oczek {łącznie z pierwszym rzutem).

XXXVII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że każda liczba naturalna mniejsza od $ n! $ jest sumą co najwyżej $ n $ różnych liczb naturalnych dzielących $ n! $.

XXXVII OM - I - Zadanie 8

Niech $ E $ będzie dowolnym punktem wewnętrznym boku $ AB $ czworokąta wypukłego $ ABCD $. Oznaczmy odpowiednio przez $ S_1, S_2, T $ pola trójkątów $ ADE $, $ BCE $ oraz $ CDE $.

a) Udowodnić, że jeżeli $ |\measuredangle A| + |\measuredangle B| = 180^{\circ} $, to $ T \geq 2\sqrt{S_1S_2} $.

b) Udowodnić, że jeżeli $ |\measuredangle A| + |\measuredangle B| > 180^{\circ} $, to $ T > 2\sqrt{S_1S_2} $.

XXXVII OM - I - Zadanie 4

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ ABC $. Niech $ A_1, B_1, C_1 $ będą odpowiednio środkami łuków $ BC, CA, AB $ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ ABC $ nie jest większe od pola trójkąta $ A_1B_1C_1 $ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

Subskrybuje zawartość