Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXXVIII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste nieujemne $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, $ x_1, x_2, \ldots , x_n $.
Przyjmujemy $ a = \sum_{i=1}^n a_i $, $ c = \sum_{i=1}^n a_ix_i $. Dowieść, że

\[<br /> \sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{1+x_i^2} \leq a+c<br /> \]

XXXVIII OM - I - Zadanie 6

Który z czworokątów mających trzy boki długości 1 ma największe pole?

XXXVIII OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli funkcja

\[<br /> f(x) = c_0+a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \sin{2x} + b_2 \sin{2x}<br /> \]

ma pięć miejsc zerowych w przedziale $ (0; 2\pi) $, to $ f(x) = 0 $ dla każdego $ x $.

XXXVIII OM - I - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $ n $ rozpatrujemy rodzinę $ W $ wszystkich takich zbiorów $ A $ par liczb naturalnych nie większych od $ n $, że jeżeli $ (a, b) \in A $, to $ (x, y) \in A $ dla $ 1 \leq x \leq a $, $ 1 \leq y \leq b $.

Wykazać, że rodzina $ W $ składa się z $ \binom{2n}{n} $ różnych zbiorów.

XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $ a, b, c $ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $ |a—b| < c < |a+b| $. Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n $ spełnia warunki $ P(1) = 0 $ oraz $ P(x) \geq 0 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $. Dowieść, że

\[<br /> a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0.<br /> \]

XXXIX OM - III - Zadanie 6

Obliczyć maksymalną objętość czworościanu zawartego w półkuli o promieniu długości 1.

XXXIX OM - III - Zadanie 5

Ciąg $ (a_n) $ określony Jest warunkami $ a_1 = a_2 = a_3 = 1 $, $ a_{n+1} = a_{n+2}a__{n+1}+a_n $ ($ n \geq 1 $). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej $ r $ istnieje taka liczba $ s $, że $ a_s $ jest podzielne przez $ r $.

XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ d $ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $ f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R} $ taką funkcją ciągłą, że $ f(0) = f(d) $. Udowodnić, że istnieje $ x \in \langle 0; d-1\rangle $ takie, że $ f{x) = -f(x + 1) $.

Subskrybuje zawartość