Olimpiada Matematyczna

XXXIX OM - III - Zadanie 3

Niech $W$ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $W$ , że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $W$ .

Dla permutacji $P=(p_1, \ldots, p_n)$ zbioru $\{1,2,\ldots, n\}$ definiujemy $X(P)$ jako liczbę wyrazów $p_s$ permutacji $P$ mających następującą własność: dla każdego $i < s$ zachodzi nierówność $p_i < p_s$ . Zakładając, że wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobnymi zdarzeniami losowymi, obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ .

XXXIX OM - III - Zadanie 1

Liczby $x_1, x_2, \ldots, x_n$ należące do przedziału $\langle 0; 1\rangle$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i = m+r, $

gdzie $m$ jest liczbą całkowitą, $r \in \langle 0; 1)$ . Dowieść, że

$ \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2 $

XXXIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest wielościan wypukły o $k$ ścianach $S_1, \ldots, S_k$ . Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $S_i$ ( $i = 1, \ldots, k$ ) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $\overrrightarrow{n_i}$ , natomiast pole powierzchni tej ściany przez $P_i$ . Dowieść, że

$ \sum_{i=1}^k P_i \cdot \overrightarrow{n_i} = \overrightarrow{0}. $

XXXIX OM - II - Zadanie 5

Rozstrzygnąć, czy każdy prostokąt, który można pokryć 25 kołami o promieniu 2 można też pokryć 100 kołami o promieniu 1.

XXXIX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1$ jest podzielna przez $(n - 1 )^3$ .

XXXIX OM - II - Zadanie 3

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ rozważamy punkt $P$ i jego rzuty $L, M, N$ odpowiednio na boki $BC, CA, AB$ . Wyznaczyć taki punkt $P$ , dla którego suma $|BL|^2 + |CM|^2 + |AN|^2$ jest najmniejsza.

XXXIX OM - II - Zadanie 2

Dane są liczby rzeczywiste $x_i$ , $y_i$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ) takie, że

$ (1) \qquad x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad \qquad y_1 > y_2 > \ldots > y_n 0, $

oraz

$ \prod_{i=1}^k x_i \geq \prod_{i=1}^k y_i,\quad \text{ dla }\quad k=1,2,\ldots, n. $

Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n x_i > \sum_{i=1}^n y_i. $

XXXIX OM - II - Zadanie 1

Niech $f(x)$ będzie wielomianem, $n$ - liczbą naturalną. Udowodnić, że jeżeli $f(x^{n})$ dzieli się przez $x-1$ , to dzieli się również przez $x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 12

Dane są dwie współśrodkowe sfery $S_R$ i $S_r$ odpowiednio o promieniach $R$ i $r$ , $R > r$ . Niech $A_0$ będzie pewnym punktem należącym do $S_R$ . Niech $T_{A_0}$ będzie stożkiem o wierzchołku w $A_0$ stycznym do $S_r$ . Oznaczmy $K_1 = T_{A_0} \cap S_R$ . Następnie dla każdego punktu $A \in K_1$ wykreślamy stożek $T_A$ i określamy $K_2 = \bigcup_{A\in K_1} T_A \cap S_R$ i dalej przez indukcję $K_{n+1}= \bigcup_{A\in K_n} T_A \cap S_R$ , gdzie $T_A$ jest stożkiem o wierzchołku w $A$ i stycznym do $S_r$ . Udowodnić, że dla pewnego $n$ jest $K_n = S_R$ .