1980-1989

XXXIV OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu $P$ wielomian $P\circ P \circ P \circ \ldots \circ P(x)-x$ dzieli się przez $P(x)-x$ .

Udowodnić istnienie liczby $C_0$ o tej własności, że dla każdego ciągu $x_1, x_2, \ldots, x_N$ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $K$ , jeżeli liczba wyrazów $x_j$ nie mniejszych od $K$ jest nie większa od $\frac{N}{K}$ , to

$ \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0. $

XXXIV OM - I - Zadanie 4

We wnętrzu koła $K$ znajduje się $n$ kół, których środki leżą na średnicy $K$ . Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $K$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 3

Liczby $x_1, x_2$ są pierwiastkami równania $x^2+ax+b = 0$ , o współczynnikach całkowitych, przy czym $|x_1| < 1$ . Dowieść, że $\lim_{n\to \infty} \{x_2^n\} = 0$ , gdzie $\{t\}$ jest taką liczbą z przedziału $\langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$ , że $t+ \{t\}$ jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, to

$ \sin A + \sin B + \sin C < \sin\left(A + \frac{B}{2}\right) + \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) + \sin\left(C + \frac{A}{2}\right). $

XXXIV OM - I - Zadanie 1

$A$ rzuca monetą $n$ razy, $B$ rzuca $n+1$ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze $B$ wyrzuci więcej orłów niż $A$ ?

Czytaj dalej

XXXV OM - III - Zadanie 6

Miejscowości $P_1,\ldots, P_{1025}$ są obsługiwane przez linie lotnicze $A_1, \ldots, A_{10}$ , przy czym dla każdych miejscowości $P_k$ i $P_m$ ( $k \neq m$ ) istnieje taka linia, której samoloty latają bezpośrednio z $P_k$ do $P_m$ oraz bezpośrednio z $P_m$ do $P_k$ . Udowodnić, że któraś z tych linii może oferować podróż z nieparzystą liczbą lądowań rozpoczynającą i kończącą się w tej samej miejscowości.

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $n$ -krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , gdzie $a_i = 1$ lub $a_i = 2$ w zależności od tego, czy w $i$ -tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j$ dla $j = 1, 2,\ldots, n$ , $p(n)$ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ wystąpi liczba $n$ . Wyznaczyć $p(n)$ w zależności od $p(n-1)$ i $p(n-2)$ .

XXXV OM - III - Zadanie 3

Dany jest ośmiościan foremny $W$ o środku $O$ . W płaszczyźnie $P$ przechodzącej przez punkt $O$ wybrano koła $K(O, r_1)$ i $K (O, r_2)$ o środku $O$ i promieniach $r_1$ i $r_2$ , odpowiednio. Wykazać, że jeżeli