1970-1979

XXIV OM - I - Zadanie 6

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ABCD$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2$ .

XXIV OM - I - Zadanie 5

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają równanie

$<br /> x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,<br />$

niech $m$ będzie najmniejszą, zaś $M$ - największą z tych liczb. Dowieść, że $x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM$ i określić, kiedy zachodzi równość.

W czworościanie $ABCD$ na, prostej łączącej środki krawędzie $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ obrano dowolny punkt $P$ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $PA$ , $PB$ , $PC$ , $PD$ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $AB$ i $CD$ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

XXIV OM - I - Zadanie 3

Niech $w(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $d$ jest dzielnikiem każdej z liczb $a_n = 3^n + w(n)$ , gdzie $n = 0, 1, 2, \ldots$ , to $d$ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

XXIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że spośród 25 różnych liczb dodatnich można wybrać dwie, których ani suma, ani różnica nie jest równa żadnej z pozostałych liczb.

XXIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdego trójkąta istnieje prosta dzieląca ten trójkąt na dwie figury o równych obwodach i równych polach.

XXV OM - III - Zadanie 6

Podzielono $n$ -kąt wypukły przekątnymi na trójkąty w ten sposób, że
1° z każdego wierzchołka wychodzi parzysta liczba przekątnych,
2° żadne dwie przekątne nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Udowodnić, że $n$ jest podzielne przez 3.

XXV OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $n$ , $r$ spełniają nierówność $r + 3 \leq n$ ,to liczby $\binom{n}{r}$ , $\binom{n}{r+1}$ , $\binom{n}{r+2}$ , $\binom{n}{r+3}$ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

XXV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ i ciągu liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ istnieje liczba naturalna $k \leq n$ taka, że

$<br /> \left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i|<br />$

XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $p > 0$ , a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $q > 0$ . Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $n$ próbach pod warunkiem, że w $n$ próbach nie pokona obu wodospadów.

Olimpiady Matematyczne