1960-1969

XIV OM - I - Zadanie 4

W koło wielkie kuli o promieniu $ r $ wpisano wielokąt foremny o $ n $ bokach. Dowieść, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu $ P $ powierzchni kuli od wierzchołków wielokąta równa się $ 2nr^2 $.

XIV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wierzchołki $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ są stałe, a wierzchołek $ C $ tak się porusza, że kąt $ ABC $ nie zmienia swej wielkości, to odcinek łączący spodki $ H $ i $ K $ wysokości trójkąta poprowadzonych z wierzchołków $ A $ i $ B $ ma stałą długość.

XIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że iloczyn dwumianów

\[<br /> P(x) = (x^m - 1) (x^{m+1}-1) (x^{m+2}-1) (x^{m+3} - 1)(x^{m+1}- 1) ,<br /> \]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną, jest podzielny przez iloczyn dwumianów

\[<br /> Q(x) = (x-1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1).<br /> \]

XIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ m $ są takimi liczbami całkowitymi, że $ a^2 + 2mb^2 $ jest kwadratem liczby całkowitej, to $ a^2 + mb^2 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

XV OM - III - Zadanie 6

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ ABCD $ o prostopadłych przekątnych $ AC $ i $ BD $, a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

XV OM - III - Zadanie 5

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $ M $, żeby suma odległości punktu $ M $ od ramion kąta była najmniejsza.

XV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $ 3x^2 + 2ax + b = 0 $ też są rzeczywiste.

XV OM - III - Zadanie 3

Dany jest czworościan $ ABCD $, którego krawędzie $ AB, BC, CD, DA $ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

Subskrybuje zawartość