Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

V OM - I - Zadanie 11

Dane są dwie przecinające się proste $ a $ i $ b $. Znaleźć miejsce geometryczne punktu $ M $ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $ M $ na proste $ a $ i $ b $ jest stała, równa danemu odcinkowi $ d $.

V OM - I - Zadanie 9

Punkty $ A, B, C, D, \ldots $ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

\[<br /> \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}.<br /> \]

Ile boków ma ten wielokąt?

V OM - I - Zadanie 8

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $ AB $ ze środkiem odcinka $ CD $.

V OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ p $ oraz punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na prostej $ p $ taki punkt $ M $, żeby suma kwadratów $ AM^2 + BM^2 $ była jak najmniejsza.

V OM - I - Zadanie 4

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ znaleźć taki punkt $ O $, żeby pola trójkątów $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ były w stosunku $ 1 \colon 2 \colon 3 $.

V OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ ABCD $ zachodzi równość $ AB + CD = AD + BC $, to okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ są styczne.

V OM - I - Zadanie 2

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $ 18 $.

Subskrybuje zawartość