Ciągi

LIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k $. Określamy ciąg $ (a_n) $ wzorami

\[<br /> a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1.\]

Wykazać, że jeżeli $ m \ne n $, to liczby $ a_m $ i $ a_n $ są względnie pierwsze.

LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $ a_1 > 1 $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ wzorem

\[<br /> a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1.<br /> \]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.<br /> \]

LV OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $ m> 1 $. Nieskończony ciąg liczb całkowitych $ x_0,x_1,x_2,\ldots $ jest określony przez warunki

\[<br /> x_{i}=\left\{\begin{array}{ll}<br /> 2^{i}&\textrm{dla}\ i<m,\\<br /> x_{i-1}+x_{i-2}+\ldots+x_{i-m}&\textrm{dla}\ i \geq m.<br /> \end{array}\right.<br /> \]

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $ k $, dla której istnieje $ k $ kolejnych wyrazów tego ciągu podzielnych przez $ m $.

LV OM - II - Zadanie 3

Wyznaczyć liczbę ciągów nieskończonych $ a_1,a_2,a_3,\dots $ o wyrazach równych $ +1 $ i $ -1 $, spełniających równanie

\[<br /> a_{mn} = a_ma_n \ \textrm{dla}\ m,n = 1, 2,3,\ldots<br /> \]

oraz warunek: w każdej trójce kolejnych wyrazów $ (a_n, a_{n+1}, a_{n+2}) $ występuje zarówno $ +1 $, jak i $ -1 $.

LV OM - I - Zadanie 5

Dla liczb całkowitych dodatnich $ m $, $ n $ niech $ N(m,n) $ oznacza liczbę $ m $-wyrazowych ciągów niemalejących o wyrazach ze zbioru

\[<br /> \{1,2, 3,\ldots,n\}.<br /> \]

Dowieść, że $ N(m, n+1) =N(n, m+1) $.

LVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ k $ będzie liczbą naturalną większą od 1 i niech $ m = 4k^2 - 5 $.

Wykazać, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, że każdy wyraz ciągu $ (x_n) $ określonego wzorami

\[<br /> x_{1}=a,\ x_{2}=b,\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n\geq 1<br /> \]

jest względnie pierwszy z liczbą $ m $.

LVI OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ a $, dla których ciąg $ (x_n) $ określony wzorami

\[<br /> x_{0}=\sqrt{3},\ x_{n+1}= \frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}\ \textrm{dla}\ n=0,1,2,\ \ldots<br /> \]

spełnia warunek $ x_{n+8} = x_n $ dla $ n =0, 1, 2, \ldots $.

LVI OM - I - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych $ a_1,a_2, a_3,\ldots $ spełniający równanie

\[<br /> \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \textrm{ dla } n=1, 2, 3, \ldots.<br /> \]

LVII OM - II - Zadanie 4

Niech $ c $ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $ (a_n) $ jest określony przez warunki

\[<br /> a_1 =1,\;a_{n+1} = d(a_n)+c \text{ dla } n =1,2,\dots,<br /> \]

gdzie $ d(m) $ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $ m $. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia $ k $,
że ciąg $ a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots $ jest okresowy.

LVII OM - I - Zadanie 12

Niech $ a_0 $ będzie liczbą całkowitą dodatnią i niech

\[<br /> a_{i+1} =<br /> \begin{cases}<br /> a_i/2, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą parzystą}, \\<br /> 3a_i -1, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą nieparzystą}<br /> \end{cases}<br /> \]

dla $ i=0,1,2,\dots $. Wykazać, że jeśli $ n $ jest liczbą całkowitą dodatnią spełniającą warunek $ a_n = a_0 $, to $ 2^n >a_0 $.

Subskrybuje zawartość