Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

V OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ABCD$ zachodzi równość $AB + CD = AD + BC$ , to okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ACD$ są styczne.

V OM - I - Zadanie 2

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $18$ .

V OM - I - Zadanie 1

Znaleźć takie liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , żeby równość

$ (1) \qquad \frac{2x-7}{4x^2 + 16x + 15} = \frac{a}{x + c} + \frac{b}{x + d} $

była tożsamością.

Na płaszczyźnie dana jest prosta $m$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach prostej $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt $M$ , żeby różnica odległości tego punktu od punktów $A$ i $B$ była jak największa.

VI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że

$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1. $

VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny $ABC$ ; dowieść, że jeżeli $M$ jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości $MA$ , $MB$ , $MC$ jest równa sumie dwóch pozostałych.

VI OM - III - Zadanie 1

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ i $c$ , żeby równanie

$ (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

VI OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $30$ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $7$ .

VI OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz kąta trójściennego $OABC$ , którego kąty płaskie $AOB$ , $BOC$ , $COA$ są równe, obrano punkt $S$ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $S$ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $OA$ , $OB$ , $OC$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że suma