Liczby całkowite

XXX OM - I - Zadanie 7

Dla danego, naturalnego $n$ obliczyć liczbę liczb całkowitych $x$ z przedziału $[1, n]$ , dla których $x^3 - x$ jest podzielne przez $n$ .

XXXI - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ \sum_{s=n}^{2n} 2^{2n-s} \binom{s}{n} = 2^{2n} $

XXXI - III - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnej liczby $n$ istnieje rozwiązanie równania

$ a^2 + b^2 + c^2 = 3abc $

w liczbach naturalnych $a, b, c$ większych od $n$ .

XXXI - I - Zadanie 9

Dowieść, że liczba naturalna $n > 1$ dzieli liczbę $a^{(n-1)! + 1}$ - a dla każdego całkowitego $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest iloczynem różnych liczb pierwszych.

XXXI - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla różnych liczb całkowitych $a, b, c$ i dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba

$ \frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)} $

jest całkowita.

XXXII - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $(x,y)$ spełniające równanie

$ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). $

XXXIII OM - III - Zadanie 5

Liczby całkowite $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1$ spełniają dla $k = 1, 2, \ldots, n$ nierówność

$ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. $

Dowieść, że różnica

$ \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| $

dzieli się przez 4.

XXXIII OM - II - Zadanie 5

Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba

$ q^{(q+1)^n}+1 $

dzieli się przez $(q + 1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q + 1)^{n+2}$ .

Dane są liczby naturalne $l, m, p, q, n$ spełniające warunki: $\frac{l}{m} < \frac{p}{q}$ i $m, q$ są względnie pierwsze. Udowodnić równoważność następujących warunków.
(1) Istnieje taka liczba naturalna $k$ , że