Liczby rzeczywiste

XLVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ n $, dla których równanie $ 2 \sin nx = \tan x + \cot x $ ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych $ x $.

XLVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{split}<br /> &x \cdot |x|+y \cdot |y| =1,\\<br /> &[x] + [y] =1.<br /> \end{split}<br /> \right.<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

XLIX OM - I - Zadanie 4

Dana jest liczba dodatnia $ a $. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ c $ mające następującą własność: dla każdej pary liczb dodatnich $ x $, $ y $ spełniona jest nierówność $ (c-1)x^{a+1} \leq (cy - x)y^a $ .

XLVIII OM - III - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ spełniające układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{array}{c}<br /> 3(x^2+y^2+z^2)=1\\<br /> x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3.<br /> \end{array}\right.<br /> \]

XLVIII OM - II - Zadanie 1

Dla każdej liczby rzeczywistej $ a $ wyznaczyć liczbę uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych $ (x, y, z) $ spełniających układ równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{l}<br /> x + y^2 + z^2 = a\\<br /> x^2 + y + z^2 = a\\<br /> x^2 + y^2 + z = a<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

LI OM - III - Zadanie 1

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $.

Wyznaczyć liczbę rozwiązań $ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $ układu równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{c}<br /> x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\<br /> x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\<br /> x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\<br /> \vdots\\<br /> x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\<br /> x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n}<br /> \end{array}\right.<br /> \]

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

LI OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w postaci

\[<br /> \frac{a^2+b^3}{c^5+d^7},<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Subskrybuje zawartość