Nierówności

XLIV OM - I - Zadanie 8

Dla ustalonej liczby naturalnej $n \geq 2$ wyznaczyć maksymalną wartość sumy liczb naturalnych $k_1, k_2, \ldots , k_n$ spełniających warunek

$ k_1^3 + k_2^3 + \ldots k_n^3 \leq 7n $

XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots , x_n$ ( $n \geq 4$ ) spełniają warunki

$ \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1. $

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby zachodziły nierówności

$ a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd. $

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $A_1, A_2, \ldots , A_8$ są wierzchołkami równoległościanu o środku $O$ . Wykazać, że

$ r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2. $

XLV OM - II - Zadanie 2

Liczby $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ spełniają warunki:

$ \sum_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_i, \quad 0 < a_i \leq b_i \quad \text{ dla } i=1,2,\ldots,n. $

Udowodnić, że $\sum_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n b_i$ .

XLV OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $p$ i $q$ spełniają warunek $p+q=1$ . Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $m$ i $n$ zachodzi nierówność

$ (1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1. $

XLV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, to

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c}. $

XLVI OM - III - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

$ x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots + \frac{x_n^n}{n} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots , x_n$ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n. $

XLVI OM - II - Zadanie 4

Liczby dodatnie $x_l, x_2, \ldots , x_n$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 $

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $t$ większej od 1 zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} $

XLVI OM - I - Zadanie 12

Ciąg $(x_n)$ jest określony następująco:

$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1. $

XLVII OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ oraz liczby dodatnie $a_l, a_2, \ldots , a_n$ , których suma równa się 1.

(a) Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 zachodzi nierówność

$ \2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i} $

(b) Wyznaczyć wszystkie układy liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 dla których powyższa nierówność staje się równością.

Uwaga: Symbol $\sum_{i<j} x_ix_j$ oznacza sumę $\binom{n}{2}$ składników odpowiadających wszystkim parom wskaźników $i,j$ ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ spełniającym warunek $i < j$ .

Olimpiady Matematyczne